ФЁЙГЕНБАУМА УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ

ФЁЙГЕНБАУМА УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ

-явление универсальности, связанное с бесконечными последовательностями бифуркаций удвоения периода устойчивых перио-дич. траекторий. Это явление было обнаружено и исследовано М. Фейгенбаумом (М. Feigenbaum) в 1978 [1-3]. Бифуркация удвоения периода происходит в том случае, когда для периодич. траектории g, зависящей от параметра ц, собственное значение l(m) оператора монодромии, задающего сдвиг вдоль у на период, проходит через значение l(m₁) =-1При прохождении параметра через бифуркац. значение m₁ от g ответвляется новое периодич. решение g₁, к-рое при m=m₁ совпадает с дважды пройденным g. При дальнейшем изменении m собств. значение l₁(m) может также пройти через - 1 при нек-ром после чего от g₁ ответвляется периодич. траектория с периодом вдвое большим, чем период g₁ и т. д. Оказывается, что в типичных ситуациях происходят бесконечные последовательности бифуркаций удвоения, причём бифуркац. значения m_i накапливаются к предельному значению

Замечательным является универсальный характер сходимости , а именно где d=4,6692... -универсальная константа Фейгенбау-ма. При бифуркац. траектории становятся всё более сложными и сходятся к нек-рому фракталу, структура к-рого также является универсальной. Обычно значение связывают с началом возникновения хаоса в системе, а Ф. у. рассматривают как один из очень общих механизмов стохастизации [4]. Ф. у. обнаружена численно во многих физ. задачах. Отметим среди них систему Лоренца, галёр-кинские аппроксимации ур-ний Навье - Стокса, магн. гидродинамику, нелинейные колебания в электрич. цепях и др.

Ф. у. удобно изучать для семейств одномерных отоб-pажений. Типичным примером служит При происходит первая бифуркация удвоения: из неподвижной точки х₀ = ²/₃ рождается пара точек, образующих цикл периода 2. Следующие бифуркац. значения и т. д. Последовательность а отношения . Отображение имеет циклы периода 2ⁿ для любого п. Определим последовательность ф-ций

где

Оказывается, что f_n сходятся к универсальной ф-ции g(x), к-рая является решением ур-ния удвоения:

Ф-ция g (x )является чётной аналитич. ф-цией:

a = 2,50290... . Константа ос характеризует изменение масштаба в системе за 2ⁿ шагов: Объяснение универсальности, предложенное Фейгенбаумом, носит ренормгрупповой характер. Если правую часть ур-ния (1) рассматривать как определение преобразования удвоения, то ф-ция g(x )является неподвижной точкой этого преобразования, а весь спектр линеаризованного преобразования в точке g лежит внутри единичного круга, за исключением одного собственного значения, равного константе Фейгенбаума d.

Опишем структуру фрактального аттрактора, отвечающего (а т т р а к т о р а Ф е й г е н б а у м а). Определим систему непересекающихся интервалов ранга и их объединение Множество F_n содержит F_n+1 а каждый интервал содержит два интервала ранга и При этом при переходе к ( п+1 )центр. часть интервала выбрасывается. В пределе возникает фрактал имеющий структуру канторова множества, к-рый служит аттрактором для отображения g. Отрезки имеют нерегулярную длину. Их длины удобно описывать с помощью термодинамич. Формализма ([5]). Пусть

Существует ф-ция U, определённая на бесконечных последовательностях нулей и единиц, такая, что

При этом ф-ция U с экспоненц. скоростью аппроксимируется ф-циями от конечного числа переменных. Из (2) следует, что для любого b существует

Универсальная ф-ция р (b) является выпуклой и монотонно убывающей. Фрактальная размерность аттрактора F определяется из ур-ния Численный счёт даёт значение

В реальных физ. экспериментах измеряют обычно спектральные пики, отвечающие определ. гармоникам. Введём автокорреляц. ф-цию:

где

и её преобразование Фурье:

При отношение

Если в системе присутствует малый случайный шум, т. е. рассматривается динамика где

- независимые случайные величины со средним нуль, то удаётся наблюдать лишь конечное число п(e) бифуркаций удвоения периода. Асимптотика п(e )при e->0 также является универсальной:

Лит.:Feigenbaum М. J., Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, "J. Stat. Phys.", 1978, v. 19, № 1, p. 25; 2) Feigenbaum M. J., The universal metric properties of nonlinear transformations, "J. Stat. Phys.", 1979, v. 21, № 6, p. 669; 3) Фей-генбаум М., Универсальность в поведении нелинейных систем, пер. с англ., "УФН", 1983, т. 141, в. 2, с. 343; 4) Eckmann J.-P., Road to turbulence in dissipative dynamical systems, "Rev. of Mod. Phys.", 1981, v. 53, p. 643; 5) By л Е. Б., Синай Я. Г., Ханин К. М., Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм, "Успехи матем. наук", 1984, т. 39, в. 3, с. 3; 6) Nauen-bergM., Rudnick J., Universality and the power spectrum at the onset of chaos, "Phys. Rev. B", 1981, v. 24, № 1, p. 493; 7) Crutch-field J., Nauenberg M., Rudnick J., Scaling for external noise at the onset of chaos, "Phys. Rev. Lett.", 1981, v. 46, № 14, p. 933. К. М. Ханин.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.