МНОГОЧЛЕНОВ КОЛЬЦО

- кольцо, элементами к-рого являются многочлены с коэффициентами из нек-рого фиксированного поля к. Рассматриваются также М. к. над произвольным ассоциативно-коммутативным кольцом R, напр, над кольцом целых чисел. М. к. от конечного множества переменных над Rпринято обозначать через

Можно говорить и о М. к. от любого бесконечного множества переменных, считая, что каждый отдельный многочлен зависит лишь от нек-рого конечного числа переменных. М. к. над кольцом Rявляется (коммутативной) свободной алгеброй с единицей над R;множество переменных служит системой свободных образующих этой алгебры.

М. к. над произвольной областью целостности само является областью целостности. М. к. от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом Rсамо является факториальным.

Для М. к. над полем кот конечного числа переменных имеет место Гильберта теорема о базисе: всякий идеал в может быть порожден (как идеал) конечным числом элементов. Кольцо многочленов от одного переменного является главных идеалов кольцом, т. е. любой его идеал может быть порожден одним элементом. Более того,является евклидовым кольцом. Это свойство дает возможность исчерпывающим образом описать конечно порожденные модули над ним и, в частности, привести к канонич. виду линейный оператор в конечномерном векторном пространстве (см. Жорданова матрица). При кольцо не является кольцом главных идеалов.

Пусть S- нек-рая ассоциативно-коммутативная к - алгебра с единицей, - элемент декартовой степени , тогда существует единственный гомоморфизм М. к. от n переменных в S

при к-ром для всех - единица S. Образ многочлена при этом гомоморфизме наз. его значением в точке а. Точка наз. нулем системы многочленов , если значение каждого многочлена из Fв этой точке есть . Для М. к. имеет место Гильберта теорема о нулях: пусть - идеал кольца М- множество нулей идеала - алгебраич. замыкание поля к,g - многочлен из R, обращающийся в нуль во всех точках из М, тогда существует натуральное число ттакое, что

Пусть А- произвольный модуль над кольцом . Тогда существуют свободные R-модули Х ₀ , Х ₁ , . . .,Х _n такие, что последовательность гомоморфизмов

точна, т. е. ядро предыдущего гомоморфизма является образом последующего. Это утверждение - одна из возможных формулировок Гильберта теоремы о сизигиях для М. к.

Конечно порожденный проективный модуль над М. к. от конечного числа переменных с коэффициентами из кольца главных идеалов свободен (см. [5], [6]); это есть решение проблемы Серра.

Лишь в нек-рых частных случаях имеются ответы на следующие вопросы: 1) не порождается ли группа автоморфизмов М. к. элементарными автоморфизмами; 2) не порождается ли произвольным множеством таким, что -ненулевая константа; 3) если изоморфно

не будет ли 5 изоморфно

Лит.:[1] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [3] Нilbеrt D., "Math. Ann.", 1893, Bd 42, S. 313-73; [4] eго же, "Math. Ann.", 1890, Bd 36, S. 473-534; [5] Суслин А. А., "Докл. АН СССР", 1976, т. 229, с. 1063-66; [6] QuillenD., "Invent, math..", 1976, v. 36, p. 167 - 71.

Ю. А. Бахтурин.