ЛЯПУНОВА ПОВЕРХНОСТИ И КРИВЫЕ

класс поверхностей и кривых, обладающих достаточно хорошими свойствами гладкости, введенный в теории потенциала А. М. Ляпуновым в кон. 19 - нач. 20 вв.

Поверхность Sв трехмерном евклидовом пространстве R³ наз. поверхностью Ляпунова, если выполнены следующие три условия (условия Ляпунова): 1) в каждой точке Sсуществует определенная касательная плоскость и, следовательно, нормаль; 2) существует такое число r>0, одно и то же для всех точек S, что если взять часть поверхности S, попавшую внутрь сферы Ляпунова В( у ₀, r).с центром в любой точке радиуса r, то прямые, параллельные нормали к Sв точке y₀, встречают не более чем один раз; 3) существуют такие два числа одни и те же для всей поверхности S, что для любых двух точек выполняется неравенство:

где - угол между нормалями к Sв точках y₁ и у ₂. Иногда к этим трем условиям добавляются требования замкнутости Sи того, чтобы телесный угол, под к-рым любая часть поверхности Sвидна из произвольной точки был равномерно ограничен.

Условия Ляпунова обобщаются для гиперповерхностей в пространстве

Аналогично, простая непрерывная кривая Lна плоскости наз. кривой Ляпунова, если она удовлетворяет следующим условиям: 1') в каждой точке Lсуществует определенная касательная и, следовательно, нормаль; 3') существуют такие два числа А>0 и одни и те же для всей кривой L, что для любых двух точек выполняется неравенство (*). где - угол между касательными или нормалями к L в точках y₁, у ₂. Условие Ляпунова 2) здесь вытекает из 1') и 3'). Кривые Ляпунова представляют собой подкласс простых гладких кривых.

Лит.:[1] Ляпунов А. М., О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле, в его кн.: Собр. соч., т. 1, М., 1954, с. 45-47; 48-100; [2] С о б о л е в С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [3] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971, гл. 5; [4] М у с х е л и ш в и л и Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968, гл. 1. Е. Д. Соломенцев.