ЛЯПУНОВА ТЕОРЕМА

- 1) Л. т. в теории вероятностей - теорема, устанавливающая весьма общие достаточные условия для сходимости распределений сумм независимых случайных величин к нормальному распределению. Точная формулировка Л. т. такова: пусть независимые случайные величины имеют конечные математич. ожидания дисперсии и абсолютные моменты

и пусть - дисперсия суммы Х ₁, ..., Х _п. Тогда если при нек-ром выполнено условие

то вероятность неравенства

стремится при к пределу

равномерно относительно всех значений х ₁ и х ₂. Условие (1) наз. условием Ляпунова. Л. т. была сформулирована и доказана А. М. Ляпуновым (1901) и явилась завершающим этапом исследований П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова по проблеме об условиях приложимости центральной предельной теоремы теории вероятностей. В дальнейшем были установлены условия, расширяющие условие Ляпунова и являющиеся не только достаточными, но и необходимыми. Окончательное решение вопроса в этом направлении было получено С. Н. Бернштейном, Дж. Линдебергом (J. Lindeberg) и В. Феллером (W. Feller). В Л. т. впервые была продемонстрирована сила метода характеристич. функций.

А. М. Ляпуновым была также дана оценка сверху при для абсолютной величины разности между вероятностью неравенства (2) и ее приближенным значением (3). Этой оденке можно придать следующий вид: при

и при

где С ₁ и С ₂ - абсолютные постоянные и - дробь (дробь Ляпунова), стоящая под знаком предела в (1). См. также Бэрри - Эссеена неравенство.

Лит.:[1] Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 1, М. 1954, с. 157-76; [2] Б е р н ш т е и н С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.- Л., 194И; [3] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 2, М., 1967.

А. В. Прохоров.

2) Л. т. в теории потенциала - теоремы о поведении потенциалов и решения Дирихле задачи, полученные А. М. Ляпуновым в 1886-1902 (см. [1]).

Теорема о теле наибольшего потенциала: если существует однородное тело Тв евклидовом пространстве ньютонов потенциал к-рого самого на себя, т. е. интеграл

при данном объеме достигает наибольшего значения, то это тело есть шар.

Интеграл (1) есть энергия однородного распределения масс плотности 1 в теле Т. Позднее Т. Карлеман (Т. Carleman, 1919) доказал, что такое тело T, для к-рого энергия Е(Т).при данном объеме достигает своего наибольшего значения, действительно существует.

Первая теорема о нормальных производных потенциала двойного слоя: пусть S - замкнутая поверхность Ляпунова в f(y).- плотность масс, распределенных на S, причем выполняется одно из следующих двух условий: 1) f(y).непрерывна на S, а показатель в условии Ляпунова на угол между нормалями к Sв точках

(см. Ляпунова поверхности и кривые);2) f(y).непрерывна по Гёльдеру с показателем 1, т. е. тогда если двойного слоя потенциал

имеет в точке -одну из нормальных производных изнутри Sили извне S, то он имеет и другую, причем эти производные совпадают.

Вторая теорема о нормальных производных потенциала двойного слоя: в предположениях предыдущей теоремы пусть, кроме того, плотность f(y).удовлетворяет условию Ляпунова

где - цилиндрич. координаты внутри сферы Ляпунова (см. Ляпунова поверхности и кривые).с началом в точке и осью Oz, направленной по нормали n _у0. Тогда потенциал двойного слоя (2) имеет обе нормальные производные в точке y₀.

Теорема о первых производных потенциала простого слоя: пусть S - замкнутая поверхность Ляпунова и плотность f(y).непрерывна по Гёльдеру, т. е.

Тогда частные производные первого порядка dV/dx_i, i=l,2,3, х=( х ₁, x₂, x₃), простого слоя потенциала

непрерывны по Гёльдеру с тем же показателем в замкнутых внутренней и внешней областях.

В этой теореме гёльдерова непрерывность была только высказана А. М. Ляпуновым, доказательство было завершено Н. М. Гюнтером (см. [2]).

Эти теоремы послужили А. М. Ляпунову основой при построении строгой теории разрешимости задачи Дирихле методом интегральных уравнений. Развитию идей А. М. Ляпунова посвящена монография Н. М. Гюнтера (см. [2]); обобщения для потенциалов более общего вида см. в [3].

Лит.:[1] Л я п у н о в А. М., Собр. соч., т. 1, М., 1954, с. 26 - 32, 33-44, 45 - 100, 101 - 22; [2] Г ю н т е р Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [3] М и р а н д а К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957. Е. Д. Соломенцев.