ЛЮРОТА ПРОБЛЕМА

- проблема характеризации подполей поля рациональных функций. В 1876 Ж. Люрот [1] (см. также [2]) доказал, что всякое подполе поля рациональных функций от одной переменной k(x), содержащее поле kи отличное от k, изоморфно полю k(x).(теорема Л ю р о т а). Вопрос о том, верно ли аналогичное утверждение для подполей Л поля известен как проблема Люрота.

Пусть X - алгебраич. многообразие, являющееся моделью (см. Минимальная модель).поля Л, тогда вложение определяет рациональное отображение образ к-рого плотен в X. Многообразия, для к-рых существует такое отображение на них проективного пространства, наз. у н и р а ц и о н а л ь н ы м и. Рациональными наз. многообразия, бирационально изоморфные Р ^т. На геометрич. языке Л. п. может быть сформулирована следующим образом: является ли всякое унирацпональное многообразие Xрациональным? Без ограничения общности можно предполагать, что dim X=n, т. е. что Л имеет степень трансцендентности, равную п.

В случае n=1 положительное решение Л. п. для любого основного поля kдает сформулированная выше теорема Люрота. Для n=2 и алгебраически замкнутого поля kхарактеристики 0 проблема положительно решена Г. Кастельнуово (G. Castelnuovo) в 1893. Из критерия рациональности Г. Кастельнуово следует также положительное решение Л. п. для таких поверхностей Xнад алгебраически замкнутым полем произвольной характеристики, для к-рых существует сепарабельное отображение (см. [7]). Для несепарабельных отображений f существуют примеры, дающие отрицательное решение Л. п. для полей простой характеристики. В случае алгебраически незамкнутого поля kтакими примерами являются минимальные кубич. поверхности в Р ³, обладающие k-точками.

Для трехмерных многообразий Л. п. также решается отрицательно (см. [4], [5], [6]). Доказана [5] нерациональность трехмерной кубической гиперповерхности, к-рая, как известно, унирациональна. Для доказательства был найден новый метод, основанный на сравнении промежуточного якобиана кубики с якобианами кривых. Доказана [4] нерациональность гладких трехмерных квартик. Для конструкции контрпримеров использована [6] в качестве инварианта группа Брауэра многообразия (группа кручений в трехмерных кого-мологиях). Этот бирациональный инвариант использован также для построения контрпримеров во всех размерностях

Лит.:[1] L u г о t h J., "Math. Ann.", 1876, Bd 9, S. 163 - 65; [2] Ван дер В а р д е н Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [3] Манин Ю. И., Кубические формы, М., 1972; L4J И с к о в с к и х В. А., Манин Ю. И., "Матем. сб.", 197), т. 86, № 1, с. 140-66; [5] К л е м е н с К. Г., Г р и ф ф и т с Ф. С., "Математика", 1972, т. 16, № 6, с. 3 - 32; 1973, т. 17, № 1, с. 3-41; [6] А г t i п М., М u m f о г d D., "Рrос. London Math. Soc.", 1972, v. 25, № 1, p. 75-95; [7] Z a r i s k i O., "Amer. J. Math.", 1958, v. 80, p. 146-84.

В. А. Псковских.