АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

теоретико-числовая функция,- комплекснозначная функция, областью определения к-рой может служить одно из множеств: множество натуральных чисел, множество целых рациональных чисел, множество целых идеалов фиксированного алгебранч. числового поля, решетка в многомерном координатном пространстве и т. п. Это - А. ф. в широком смысле. Однако часто под А. ф. понимается функция указанного типа, обладающая нек-рымн специальными арифметич. свойствами. Наиболее употребительные А. ф. имеют традиционные символич. обозначения: - Эйлера функция, или - делителей число, - Мёбиуса функция, - Манголъдта функция, - сумма делителей числа п. К А. ф. относят также целую часть числа и дробную часть числа . Изучаются А. ф., выражающие число решений уравнения; напр., - число решений в целых числах . уравнения в Гольдбаха проблеме: - число решений в простых числах уравнения Другие А. ф. выражают количество чисел с к.-л. условиями; напр., функция - число простых чисел, не превосходящих х, характеризует распределение простых чисел; - число не превосходящих хпростых чисел в арифметич. прогрессии Со свойствами простых чисел связаны также Чебышева функции: - сумма натуральных логарифмов простых чисел до и В алгебраич. теории чисел рассматриваются обобщения названных А. ф. натурального аргумента.

Напр., в алгебраич. поле Кстепени пдля целого идеала вводится функция Эйлера - число классов вычетов по идеалу , взаимно простых с

А. ф. возникают и используются при изучении свойств чисел. Однако теория А. ф. представляет и самостоятельный интерес. Закономерность изменения А. <ф. обычно не удается охарактеризовать простыми формулами - ищется асимптотика числовых функций. Так как многие А. ф. не монотонны, то большое значение имеет изучение средних значений функций. Важный класс А. ф. составляют мультипликативные арифметические функции и аддитивные арифметические функции. В вероятностной теории чисел изучается вопрос о распределении их значений [5].

Лит.:[1] Виноградов И. М.,Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [2] его же, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3] Xуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. е .нем., М., 1964; [4] Чандрасек харан К., Арифметические функции, пер. с англ., М., 1975; [5] Кубилю с И., Вероятностные методы в теории чисел, 2 изд., Вильнюс, 1962.

Н. И. Климов.



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

  • Арифметическая функция — Арифметическая функция  функция, определенная на множестве натуральных чисел , и принимающая значения во множестве комплексных чисел . Содержание 1 Определение …   Википедия

  • МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — арифметическая функция одного аргумента , удовлетворяющая условию для любой пары взаимно простых чисел т, п. Обычно предполагается, что не равна тождественно нулю (что равносильно условию ). М. а. ф. наз. сильно мультипликативной, если для всех… …   Математическая энциклопедия

  • АДДИТИВНАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — арифметическая функция одного аргумента, удовлетворяющая для любой пары взаимно простых т, п условию А. а. ф. наз. сильно аддитивной, если для всех простых ри всех натуральных а. А. а. ф. наз. вполне аддитивной, если условие справедливо не… …   Математическая энциклопедия

  • Функция Мёбиуса —   мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году. Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Функция Мебиуса — Функция Мёбиуса μ(n) мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г. Содержание 1 Определение 2 Свойства и приложения …   Википедия

  • Функция Эйлера — Не следует путать с функцией распределения простых чисел. Первая тысяча значений Функция Эйлера φ(n) мультипликативная …   Википедия

  • МАНГОЛЬДТА ФУНКЦИЯ — арифметическая функция, определяемая равенствами Функция обладает следующими свойствами: где сумма берется по всем делителям dчисла п. М. ф. тесно связана с дзета функцией Римана z(s), а именно, производящим рядом для является логарифмич.… …   Математическая энциклопедия

  • МЁБИУСА ФУНКЦИЯ — арифметическая функция натурального аргумента: m(l)=l, m(n) = 0, если пделится на квадрат простого числа, в противном случае m(n)=( 1)k, где к количество простых множителей числа п. Введена А. Мёбиусом (A. Mobius, 1832). М. ф. мультипликативная… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИУВИЛЛЯ ФУНКЦИЯ — арифметическая функция l(n). определяемая равенством где v(n) число всех простых сомножителей п. Л. ф. тесно связана с Мёбиуса функциейm(n): В теории чисел важна оценка суммы при Существует гипотеза, что Последний результат, полученный методом И …   Математическая энциклопедия

  • ЭЙЛЕРА ФУНКЦИЯ — арифметическая функция значение к рой равно количеству положительных целых чисел, не превосходящих n и взаимно простых с п. Э. ф. мультипликативна, т. е. и при (т, п)=1. Для функции справедливы соотношения Введена Л. Эйлером (L. Euler, 1763). Лит …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»