- АРГУМЕНТА ПРИНЦИП
геометрический принцип теории функций комплексного переменного, формулируемый следующим образом: пусть
- ограниченная область на комплексной плоскости
, причем граница
является непрерывной кривой, ориентация к-рой согласована с
; если функция
мероморфиа в окрестности
н на
не имеет нулей и полюсов, то разность между числом ее нулей
и числом полюсов
в
(с учетом кратностей) равна деленному на
приращению аргумента
при положительном обходе
, т. е.
где
обозначает какую-либо непрерывную ветвь
на кривой
. Выражение справа равно индексу
кривой
относительно точки
А. п. используется для доказательства различных утверждений о нулях голоморфных функций (основная теорема алгебры многочленов, теорема Гурвица о нулях и т. п.). Из А. н. следуют такие важные геометрич. принципы теории функций, как сохранения области принцип, максимума модуля принцип, теорема о локальном обращении голоморфной функции. Во многих вопросах А. п. используется неявно в виде его следствия - Руше теоремы.
Имеются обобщения А. п. Условие мероморфности
в окрестности
можно заменить следующим:
имеет в
конечное число нулей и полюсов и непрерывно продолжается на
. Вместо комплексной плоскости можно рассматривать произвольную рпмаиову поверхность, при этом ограниченность
заменяется условием, что
- компакт. Из А. п. для римановых поверхностей следует, что на компактной римановой поверхности число нулей любой мероморфной функции, не равной тождественно нулю, равно числу полюсов. А. п. в областях на Сэквивалентен теореме о сумме логарифмических вычетов. Поэтому обобщенным А. п. иногда называют следующее утверждение. Если
мероморфна в окрестности области
, ограниченной конечным числом непрерывных кривых, и
на
не имеет нулей и полюсов, то для любой функции ф, голоморфной в окрестности
, справедливо равенство:
где первая сумма распространяется на все нули, а вторая - на все полюсы f в D. Имеется топологическое обобщение А. п. (*): А. п. справедлив для любых открытых локально конечнократных отображений
непрерывно продолжающихся на
и таких, что
Аналогом А. п. для многих комплексных переменных является, напр., следующая теорема: пусть
- ограниченная область в
с жор-дановой границей
и
есть отображение, голоморфное в окрестности
и такое, что
; тогда число прообразов 0 в
(с учетом кратностей) равно
.
Лит.:[1] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965; [2] IIIабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976. Е. М. Чирка.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.