ОБОБЩЕННАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

- функция удовлетворяющая системе

с действительными коэффициентами являющимися функциями действительных переменных хи у В обозначениях

исходная система записывается в виде

Если коэффициенты Аи Всистемы (1) на всей плоскости Екомплексного переменного z принадлежат классу то в любой области Dэтой плоскости каждая О. а. ф. w(z), удовлетворяющая уравнению (1) представляется в виде

(2) где

а - вполне определенная аналитическая в области Dфункция переменного z.

Связь между О. а. ф. и аналитич. циями, осуществляемая формулой (2), является нелинейной, еслк . По заданной аналитич. ции из нелинейноге интегрального уравнения (2) единственным образом определяется О. а. ф.

Существует линейный оператор

устанавливающий взаимно однозначное соответствие между множествами аналитических в ограниченной области Dи непрерывных в замкнутой области функций и обобщенных аналитических в Dфункций , причем и - вполне определенные функции, к-рые выражаются через коэффициенты Аи Всистемы (1).

Из формулы (3) получаются различные интегральные представления О. а. ф., обобщающие интегральное представление Коши для аналитич. ций. Представление О. ф. в виде (3) оказалось полезным при исследовании краевых задач для О. а. ф.

Если Аи В- аналитич. ции действительных переменных х, у, то для О. а. ф. в односвязной области имеет место представление

в к-ром и - аналитич. ции своих аргументов, выражающиеся через Аи В, а - произвольная аналитич. ция переменного z. (Формула (4) не является частным случаем формулы (3).)

В случае, когда Аи В- целые функции переменных хи у, представление (4) годится для любой односвязной области плоскости комплексного переменного 2.

Проблема приведения общего эллиптич. уравнения 2-го порядка

к виду

эквивалентна задаче редукции к канонич. виду положительной квадратичной формы Последняя проблема, в свою очередь, сводится к отысканию гомеоморфизмов уравнения Бельтрами

Если (5) - равномерно эллиптич. уравнение то

При изучении уравнения Бельтрами основным вопросом является построение нек-рого его гомеоморфизма для данной области D. Это вытекает из следующего утверждения: если - гомеоморфизм уравнения Бельтрами, реализующий топологич. отображение области Dна область , то всякое другое его решение в Dимеет вид

где Ф - произвольная аналитич. ция в области

Когда измерима, вне Dи

однолистным решением уравнения Бельтрами (6) является функция

где удовлетворяет сингулярному интегральному уравнению (интеграл понимается в смысле главного значения по Коши)

Это уравнение имеет единственное решение в нек-ром классе его можно получить, напр., методом последовательных приближений. Функция (8) принадлежит классу реализует топологич. отображение плоскости на себя, причем

при . Если то

Равномерно эллиптич. система двух уравнений 1-го порядка общего вида в комплексной записи имеет вид

С помощью гомеоморфизма нек-рого уравнения вида (6) систему (10) можно привести к виду (1). Но ее можно изучить также непосредственно, что позволяет избежать нек-рых дополнительных ограничений.

Пусть уравнение (10) рассматривается в нек-рой ограниченной области при условии, что р>2. Тогда всякое решение уравнения (10) представимо в виде

где - нек-рый гомеоморфизм уравнения Бельтрами (6) с коэффициентом

- аналитич. ция в области , функция голоморфна вне и исчезает на бесконечности. Представление (11) имеет место и тогда, когда коэффициенты в левой части уравнения (10) зависят от и от ее производных любого порядка, лишь бы на рассматриваемых решениях выполнялись указанные выше условия. Как и (2), формула (11) допускает обращение.

Формула (11) позволяет перенести целый ряд свойств классич. теории аналитич. ций на решения уравнения (10): теорему единственности, принцип аргумента, принцип максимума и др.

Общее (Q-квазиконформное отображение является решением нек-рой равномерно эллиптич. системы вида (10) (при А=В=0). Справедливо и обратное утверждение. Поэтому указанные выше результаты позволяют решить чисто аналитич. тем основные проблемы квазиконформных отображений.

Теория О. а. ф. позволила исчерпывающим образом исследовать обобщенную задачу Римана - Гильберта: найти решение уравнения (1), непрерывное в , по краевому условию

где - заданные действительные функции из класса причем Область

D, вообще говоря, многосвязна.

Задачу (12) можно редуцировать к эквивалентному сингулярному интегральному уравнению и получить полный качественный анализ краевой задачи (12).

Пусть граница Sобласти Dсостоит из конечного числа простых замкнутых кривых удовлетворяющих условиям Ляпунова. Так как при конформных отображениях вид уравнения и краевого условия сохраняются, то без ущерба общности можно считать, что - единичная окружность с центром в точке z=0, принадлежащая рассматриваемой области D, а

- окружности, лежащие внутри Индексом задачи (12) наз. целое число п, равное приращению

когда точка один раз обойдет Sв положительном направлении. Краевое условие можно привести к более простому виду

где на , причем - некоторые действительные параметры, к-рые однозначно выражаются через и Для сопряженной задачи:

Индекс вычисляется по формуле .

Основные результаты по задаче (12) можно сформулировать в виде следующих утверждений.

1) Задача (12) имеет решение тогда и только тогда, когда

где - производное решение сопряженной задачи. 2) Пусть и - числа линейно независимых решений однородных задач (12) и (13) соответственно. Тогда

3) Если , то однородная задача (12) не имеет нетривиальных решений.

4) Если , то однородная задача (12) имеет ровно линейно независимых решений, а неоднородная задача (12) всегда разрешима. Если , то неоднородная задача (12) имеет решение (единственвое) тогда и только тогда, когда где - полная система решений однородной задачи (13).

5) Если т=0 и n=0, то l=1 и все решения однородной задачи имеют вид где с - действительная постоянная, а - непрерывная в функция.

Приведенные результаты полностью характеризуют задачу (12) в односвязном ( т=0 )и многосвязном (n<0, n>m-1) случаях. Особого рассмотрения требует случай

Лит.:[1] Векуа И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959.

А. В. Бицадзе.