- АРГУМЕНТА ПРИНЦИП
геометрический принцип теории функций комплексного переменного, формулируемый следующим образом: пусть
- ограниченная область на комплексной плоскости 
, причем граница 
является непрерывной кривой, ориентация к-рой согласована с 
; если функция 
мероморфиа в окрестности 
н на 
не имеет нулей и полюсов, то разность между числом ее нулей 
и числом полюсов 
в 
(с учетом кратностей) равна деленному на 
приращению аргумента 
при положительном обходе 
, т. е.
где
обозначает какую-либо непрерывную ветвь 
на кривой 
. Выражение справа равно индексу 
кривой 
относительно точки 
А. п. используется для доказательства различных утверждений о нулях голоморфных функций (основная теорема алгебры многочленов, теорема Гурвица о нулях и т. п.). Из А. н. следуют такие важные геометрич. принципы теории функций, как сохранения области принцип, максимума модуля принцип, теорема о локальном обращении голоморфной функции. Во многих вопросах А. п. используется неявно в виде его следствия - Руше теоремы.
Имеются обобщения А. п. Условие мероморфности
в окрестности 
можно заменить следующим:
имеет в 
конечное число нулей и полюсов и непрерывно продолжается на 
. Вместо комплексной плоскости можно рассматривать произвольную рпмаиову поверхность, при этом ограниченность 
заменяется условием, что
- компакт. Из А. п. для римановых поверхностей следует, что на компактной римановой поверхности число нулей любой мероморфной функции, не равной тождественно нулю, равно числу полюсов. А. п. в областях на Сэквивалентен теореме о сумме логарифмических вычетов. Поэтому обобщенным А. п. иногда называют следующее утверждение. Если 
мероморфна в окрестности области 
, ограниченной конечным числом непрерывных кривых, и 
на 
не имеет нулей и полюсов, то для любой функции ф, голоморфной в окрестности 
, справедливо равенство:
где первая сумма распространяется на все нули, а вторая - на все полюсы f в D. Имеется топологическое обобщение А. п. (*): А. п. справедлив для любых открытых локально конечнократных отображений
непрерывно продолжающихся на 
и таких, что 
Аналогом А. п. для многих комплексных переменных является, напр., следующая теорема: пусть
- ограниченная область в 
с жор-дановой границей 
и 
есть отображение, голоморфное в окрестности 
и такое, что 
; тогда число прообразов 0 в 
(с учетом кратностей) равно 
.
Лит.:[1] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965; [2] IIIабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976. Е. М. Чирка.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
