УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ

-свойство упругих систем возвращаться к состоянию равновесия после малых отклонений их из этого состояния. Понятие У. у. с. тесно связано с общими понятиями устойчивости движения и равновесия. Устойчивость является необходимым условием для любой конструкции. Потеря устойчивости

где -матрица 3-поворотов, , Подчеркнём, что частота w в множестве (9) не фиксирована.

Если возмущённый солитон описывать полем

то возмущение x определим как Метрики r₀, r выберем в виде

где || ||-норма в , значок С обозначает совместную норму в

Изучим Q-yстoйчивость солитонных решений (8), наложив условие фиксации заряда, уже предполагающееся в определении (10):

Введем удобные для дальнейшего обозначения:

Выберем в качестве функционала Ляпунова интеграл движения

где -энергия поля. Его вторая вариация может быть представлена в виде

где введены самосопряжённые операторы

Из (12) следует, что для положительной определённости d²V необходимо выполнение неравенств F_p >0, h> 0. Оказывается, что безузловые солитоны (u>0) могут быть устойчивыми, тогда как узловые солитоны (для к-рых на нек-рых поверхностях u = 0) всегда неустойчивы. Заметим, что для безузловых солитонов спектр оператора неотрицателен, т. к. и>0, и поэтому и - первая собственная ф-ция оператора L^{^}₂, тогда как нулевая мода x₂=u исключается выбором метрики r. Анализируя структуру второй вариации (12), можно установить справедливость следующей теоремы (Q -теоре-мы): безузловые стационарные решения (8) Q -устойчивы по Ляпунову в области

если в ней оператор имеет единств. отрицат. собств. значение, а собств. ф-ция y- удовлетворяет условию

Условия Q -теоремы необходимы для устойчивости безузловых солитонов, что можно установить с помощью следующего функционала Четаева:

где

Вычисляя его производную W^., находим:

Отсюда следует, что в области т. е. имеет место неустойчивость солитонов.

Чтобы убедиться в неустойчивости узловых солитонов, заметим, что в этом случае возмущение x₂ всегда содержит решение однородного ур-ния допускающего знакопеременный интеграл "энергии"

т. к. оператор имеет отрицат. собств. значения. Это видно из ур-ния и наличия узлов у ф-ции u(r). Неустойчивость доказывается существованием функционала Четаева для к-рого W>0в области

Рассмотрим примеры применения Q -теоремы для анализа устойчивости солитонов в D -мерном пространстве.

1) С т е п е н н а я м о д е л ь. В этом случае и ф-ция и( х )удовлетворяет ур-нию

к-рое имеет безузловое решение и(r )при условиях |w|<1 0<1-1/n<=2/D. Выполнив в (15) замену переменных: x=r(1-w²)^-1/2, u=u(1-w²)^s, s^-1=2(n-1), находим заряд Q(w) невозмущённого солитона:

Из (16) следует, что условие (13) выполнено для частот

Условие (14) также выполнено, т. к. а ф-ция как первая собств. ф-ция оператора . Поэтому неравенство (17) определяет область устойчивости безузловых солитонов.

2) Л о г а р и ф м и ч е с к а я м о д е л ь задаётся ф-цией F=p+s(1-lns) и допускает решения вида

Отсюда находим зависимость заряда от частоты:

определяющую, согласно (13), область устойчивости:

3) Шрёдингера уравнение нелинейное , допускает решения (8) с амплитудой u, подчиняющейся ур-нию (15) с переобозначением . Замена переменных x=r|w|^-1/2, u=u|w|^s, s^-1=2(n-1) позволяет найти заряд как ф-цию от w:

Отсюда следует, что в области устойчивости 1 < п <1+2/D, а при п>1 +2/D солитоны неустойчивы. Это устанавливается с помощью функционала Четаева

3. Метод Захарова - Кузнецова (1974). Метод состоит в доказательстве ограниченности снизу энергии консервативной системы при условии фиксации нек-рых дополнит. интегралов движения. Проиллюстрируем метод на последнем примере, показав, что интеграл энергии в оценивается снизу через заряд Q. В самом деле,

Вводя обозначение ..., и используя неравенства приходим к оценке

Если 5>3n, то правая часть этого неравенства имеет минимум при

Поэтому энергия при фиксированном I₂ = Q также имеет минимум, к-рый и реализуется на нек-рой стабильной конфигурации.

Используем метод Захарова - Кузнецова для доказательства существования стабильных солитонов ещё в двух распространённых моделях.

1) Кортевега - де Фриса уравнение (D= 1) описывает волны на мелкой воде и допускает законы сохранения энергии

и импульса Используя неравенство Гальяр-до - Ниренберга-Ладыженской получаем оценку для энергии снизу:

Минимизируя правую часть этого неравенства по || д _xj ||, находим Т. о., при фиксированном импульсе Р=I₂ энергия ограничена снизу и имеет минимум, к-рый реализуется на нек-рой устойчивой конфигурации.

2) Кадомцева - Петвиашвили уравнение (D =2)

рассматривается как двумерное обобщение ур-ния Кортевега- де Фриса и также допускает законы сохранения энергии

и импульса Воспользуемся неравенством Гёльдера , а также очевидными неравенствами

объединяя к-pые, приходим к соотношению , позволяющему получить оценку для энергии снизу:

Минимизируя правую часть в (18) по || д _xj|| и || д _yw||, получаем неравенство означающее, что при фиксированном импульсе Р=I₂ минимум энергии реализуется на нек-рой стабильной солитонной конфигурации.

4. Пример применения прямого метода в кинетической теории плазменных солитонов. Рассмотрим эл.-статич. приближение Власова - Пуассона в одномерном случае (D =1). Ур-ния для ф-ции распределения электронов f(t, x,u) и напряжённости электрич. поля в плазме E(t, x )в приближении тяжёлых ионов имеют вид (распределение ионов не зависит от времени)

С учётом граничных условий

в системе отсчёта, связанной с центром распределения электрич. поле исключается:

Пусть невозмущённое решение ур-ний (19) стационарно:

где -энергия электрона, m = sign u. Т. к. f>0 , полагаем считая c₀ решением ур-ния

где При этом возмущение x=c-c₀ с учётом (20) и линеаризованного условия нормировки удобно представить в виде

считая, что j удовлетворяет линеаризованному ур-нию

где введены операторы

Из ур-ния (21) следует, что существует интеграл движения

В случае e= -1 функционал (22) положительно определён, что говорит об устойчивости монотонных по энергии w распределений - теорема Ньюкомба - Гарднера (клас-сич. пример: распределение Максвелла - Больцмана f₀=Ae^-w). Покажем, что монотонные распределения гло-бально устойчивы, выбрав функционал Ляпунова

где l-множитель Лагранжа, G(f) - нек-рая вспомогательная ф-ция, определяемая из условия стационарности V₁. Из условия dV₁(f₀)=0 находим или, после дифференцирования по w, . Т. о., V₁ - глобально выпуклый функционал. В частности, полагая убеждаемся, что Однако если распределение f₀ немонотонно по энергии, то функционал (22) знакопеременный, что говорит о неустойчивости. В самом деле, для функционала Четаева

где F- решение вспомогат. ур-ния

найдём, что в области V<0. Т. о., немонотонные распределения неустойчивы по метрикам r₀, r где

(Подробное изложение теории прямого метода Ляпуно-ва и его приложений смотри в прилагаемом списке литературы.)

Лит.: Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, 2 изд., Л.- М., 1935; Зубов В. И., Методы А. М. Ляпунова и их применение, Л., 1957; Мовчан А. А., Устойчивость процессов по двум метрикам, "Прикл. матем. и мех.", 1960, т. 24, в. 6, с. 988; Жидков Е. П., Кирчев И. П., Устойчивость решений вида уединенных волн некоторых нелинейных уравнений математической физики, "ЭЧАЯ", 1985, т. 16, в. 3, с. 597; Рыбаков Ю. П., Устой-чивость многомерных солитонов в киральных моделях и гравитации, в кн.: Итоги науки и техники, сер. Классическая теория поля и теория гравитации, т. 2, М., 1991, с. 56; Benjamin Т. В., Stability of solitary waves, "Proc. Roy. Soc.", 1972, v. 328A, p. 153; Makhan-kov V. G., Dynamics of classical solitons (in non-integrable systems), "Phys. Repts", 1978, v. 35, № 1, p. 1; Holm D. D. [a.o.], Nonlinear stability of fluid and plasma equilibrium, "Phys. Repts", 1985, v. 123, № 1 -2, p. l;ShatahJ., Strauss W., Instability of nonlinear bound states, "Comm. Math. Phys.", 1985, v. 100, № 2, p. 173; Kuzne- tsov E. A., Rubenchik A. M., Zakharov V. E., Soliton stability in plasmas and hydrodynamics, "Phys. Repts", 1986, v. 142, № 3, p. 103; Grillakis M., Shatah J., Strauss W., Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry. I, II, "J. Funct. Anal.", 1987, v. 74, № 1, p. 160; 1990, v. 94, № 2, p. 308. Ю. П. Рыбаков.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.