- МОТИВОВ ТЕОРИЯ
- обобщение различных теорий когомологий алгебраич. многообразий. М. т. систематически обобщает идею использования якобиана алгебраич. кривой Xв качестве замены когомологий
в классич. теории соответствий и использовании этой теории для изучения дзета-функции кривой Xнад конечным полем. М. т. универсальна в том смысле, что всякая геометрич. теория когомологий типа классич. сингулярных когомологий алгебраич. многообразий над полем
с постоянными коэффициентами, l-адических когомологий для различных простых чисел l, отличных от характеристики основного поля, кристаллич. когомологий и т. п. (см. Вейля когомологий )является функтором на категории мотивов.
Пусть
- категория гладких проективных многообразий над полем
- контравариантный функтор глобальной теории пересечений из
в категорию коммутативных
-алгебр, где
- нек-рое фиксированное кольцо. Напр.,
- кольцо Чжоу классов алгебраич. циклов на Xпо модулю подходящего (рационального, алгебраического, численного и т. п.) отношения эквивалентности, или
- кольцо Гротендика, или
- кольцо классов когомологий четной размерности и т. д. Категория
и функтор
позволяют определить новую категорию - категорию соответствий
, объектами к-рой являются многообразия
обозначаемые через
, а морфизмы определяются формулой
с обычным законом композиции соответствий (см. [1]). Пусть функтор Спринимает значения в категории коммутативных градуированных
-алгебр
, тогда категория
будет
-аддитивной категорией градуированных соответствий. Более того,
будет обладать прямыми суммами и тензорными произведениями. Категория, объектами к-рой являются многообразия из
, а морфизмами - соответствия степени 0, обозначается
. Из
определен естественный функтор в
, и функтор Спродолжается до функтора Тиз
в
. Категория
, как и
, не является абелевой. Рассматривается ее псевдоабелево пополнение - категория
, к-рая получается из
формальным добавлением образов всех проектеров р. Точнее, объектами
являются пары
, где
и
- это множество соответствий
таких, что
по модулю соответствий
с
Категория
вкладывается впосредством
функтора
Естественный функтор
наз. функтором мотивных когомологий, а
- категорией эффективных мотивов.
Пусть
, где е- класс любой рациональной точки на проективной прямой
. Тогда
Если
- проективизация локально свободного пучка Еранга r на Y, то
Вычислены также мотивы моноидального преобразования с неособым центром и мотивы кривых (см. [1]), мотивы абелева многообразия (см. [2]) и мотивы гиперповерхностей Вейля.
Категория мотивов
получается из
формальным добавлением отрицательных степеней мотива L. По аналогии с l-адическими когомологиями,
наз. мотивом Тейта. Операция тензорного умножения на мотив Тназ. скручиванием с помощью мотива Тейта. Скручивание позволяет определить понятие уровня мотива, как в l-адических когомологиях. Любой функтор кого-мологий Вейля пропускается через функтор
Имеется гипотеза, что
в нек-ром смысле не зависит от теории пересечений Си что сам функтор
является (универсальной) теорией когомо-логий Вейля. Эта гипотеза тесно связана со стандартными гипотезами Гротендика (см. [5]) об алгебраич. циклах (также пока, 1982, не доказанными).
Лит.:[1] Манин Ю. И., "Матем. сб.", 1968, т. 77, № 4, с. 475-507; [2] Шерменёв А. М., "Успехи матем. наук", 1971, т. 26, № 3, с. 215-16; [3] Dоmazurе М., Motives des varietes algebrique, Sem. Bourbaki, 365, P., 1969; [4] Кleiman S. L., Motives, "Proceeding of the 5-th Nordic Summer-School in Math. Algebraic geometry", Oslo, 1970, p. 52-82; [5] eго же, Algebraic cycles and the Weil conjectures, в кн.: Dix exposes sur la cohomologie des schemas, Amst. - P., 1968.
В. А. Псковских.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.