- ИЗМЕРИМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
- отображение f измеримого пространства
в измеримое пространство
такое, что
В случае, когда
есть а-алгебра, а
- действительная прямая с s-алгеброй А 2 борелевских множеств, понятие И. о. сводится к понятию измеримой функции (однако, когда
есть лишь s-кольцо, определение измеримой функции обычно видоизменяется в связи с нуждами теории интегрирования). Суперпозиция И. о. измерима. Если
- кольца, и
для любого Виз нек-рого класса множеств
такого, что кольцо, им порожденное, совпадает с
то f измеримо. Аналогичное утверждение верно и для случая s-колец, алгебр и s-алгебр. Если
- топологич. пространства са-алгебрами борелевских множеств, то всякое непрерывное отображение Х 1 в Х 2 измеримо. Пусть X - топологич. пространство,
есть а-алгебра его борелевских подмножеств и m -конечная неотрицательная регулярная мера на
(регулярность означает, что m(A)=sup {m(F) :
Fзамкнуто}). Пусть, далее, S- сепарабельное метрич. пространство,
есть а-алгебра его борелевских подмножеств и f- измеримое отображение
и
Тогда для любого e>0 найдется замкнутое подмножество
такое, что
и f непрерывно sa F (теорема Лузина).
Лит..: [1] Xалмош П., Теория меры, пер. с англ., М.,. 1953; [2] Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; [3] Бурбаки Н., Интегрирование. Меры, интегрирование мер, пер. с франц., М., 1967; [4] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962.
В. В. Сазонов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.