- АЛЕКСАНДЕРА ИНВАРИАНТЫ
инварианты, связанные с модульной структурой одномерных гомологии многообразия
, на к-ром свободно действует свободная абелева группа
ранга ас фиксированной системой образующих
Проекция многообразия
на пространство орбит М является накрытием, отвечающим ядру
гомоморфизма
фундаментальной группы
многообразия М. Так как
то группа
где
- коммутант ядра
, изоморфна одномерной группе гомологии
. При этом расширение
порождает расширение (*):
к-рое определяет на
модульную структуру над целочисленным групповым кольцом
группы
(см. Групповая алгебра). Та же самая структура индуцируется в
данным действием
на
. Фиксация образующих
в
отождествляет
с кольцом
лорановых многочленов от переменных ti . Расширение
чисто алгебраически определяет и определено модульным расширением
:
(см. [5]). Здесь
- ядро гомоморфизма е:
(
=1). Модуль
наз. модулем Александера накрытия
. В случае (рассмотренном впервые Дж. Александером [1]), в к-ром
- дополнительное пространство нек-рого зацепления kкратности и. в трехмерной сфере
, а накрытие отвечает гомоморфизму коммутирования
:
группы зацепления, -
наз. модулем Александера зацепления k. Основные свойства G, существенные для дальнейшего:
- свободная абелева группа, дефект группы Gравен 1, G имеет непредставление
для к-рого
(см. Узлов и зацеплений диаграммы). В случае зацеплений образующие
отвечают меридианам компонент
и фиксируются ориентацией этих компонент и сферы.
Обычно Месть дополнительное пространство М(k).зацепления k, состоящего из
( п-2)-мерных сфер
в
. Кроме гомоморфизма
рассматривается гомоморфизм
:
, где
равно сумме коэффициентов зацепления петли, представляющей
, со всеми
.
Матрица
модульных соотношений модуля А а наз. матрицей Алексапдера накрытия, а в случае зацеплений - матрицей Александера зацепления. Она может быть получена как матрица
где
- копредставление группы G. При
матрица
модульных соотношений для
получается из
отбрасыванием столбца из нулей. Матрицы
и
определены модулями
и
лишь с точностью до преобразований, отвечающих переходам к другим копредставлениям модуля. Однако с их помощью вычисляется ряд инвариантов модуля. Идеала м и Александера наз. идеалы модуля А а, т. е. ряд идеалов
кольца
:
где
порождается минорами матрицы
порядка
для
. Употребляется и противоположный порядок нумерации. Так как
- гауссово кольцо и нётерово кольцо, то каждый идеал
лежит в минимальном главном идеале
его образующая
определена с точностью до делителей единицы
. Лоранов многочлен
наз. i - м многочленом Александера, а
- просто многочленом Александера зацепления
(или накрытия
). Если
то он домножается на
так, чтобы
Гомоморфизму
отвечает модуль А,
идеалы
и полиномы
, к-рые наз., соответственно, приведенным модулем Александера, приведенными идеалами Александера и приведенными многочленами Александера зацепления k(или накрытия
-v
. Если
, то
получается из
заменой всех
на
. При
делится на
Полином
наз. полиномом Хосокавы [4]. Модульные свойства (К).изучены в [4], [8], [10]. Случай зацеплений исследован мало. Для
группа
конечно порождена над любым кольцом R, содержащим Z, в к-ром
обратим [7], в частности, над полем рациональных чисел, а если
то над Z. В этом случае
- характеристич. многочлен преобразования
Степень
равна рангу
в частности,
в том и только том случае, когда
При n= 3 идеалы зацепления обладают следующим свойством симметрии:
где черта означает взятие образа при автоморфизме, порожденном заменой всех
на
Отсюда вытекает, что
=
для нек-рых целых
. Эта симметрия является следствием двойственности Фок-са - Троттера для групп узлов и зацеплений. Она может быть выведена также из Пуанкаре двойственности для многообразия
с учетом свободного действия
(см. [3]). Если
то над полем дробей
кольца
цепной комплекс
ацикличен (
= 3). Следовательно, определено Рейдемейстера кручение
отвечающее вложению
где
- группа единиц
. Для
для
(с точностью до единиц
). Симметрия
для n=3 является следствием симметрии
. В случае
из симметрии
и свойства
вытекает четность степени
. Степень
также четна [4]. Свойства многочленов узлов
:
делит
и
для
, превосходящих нек-рое N, являются характеристическими, т. е. для каждого набора
с этими свойствами существует узел
, для к-рого они служат многочленами Александера. Полиномы Хосокавы [4] характеризуются свойством
при любом
; полиномы
двумерных узлов - свойством
А. п., в первую очередь многочлены, являются мощным средством различения узлов и зацеплений. Напр., среди узлов из таблицы с менее чем девятью двойными точками А! не различает только три пары (см. Узлов таблица). См. также Узлов теория, Альтернирующие узлы и зацепления.
Лит.:[1] Alexander J. W., "Trans. Amer. Math. 8оз.", 1928, v. 30, № 2, p. 275-306; [2] Reidemeister K., Knotentheorie, В., 1932; [3] Blanchfield R. G., "Ann. Math.", 1957, v. 65, p. 340-56; [4] Hоsоkawa P., "Osaka J. Math.", 1958, v. 10, p. 273-82; [5] Сrоw e11 R. H., "Nagoya Math. J.", 1961, v. 19, p. 27-40; [6] Кроуэлл Р., Фоке Р., Введение в теорию узлов, пер. с англ., М., 1967; [7] Neuwirth L., Knot group, Princeton (N.Y.), 1965; [8] Сrоwe11 R. H., "J. Math, and Mech.", 1965, v. 14, № 2, p. 289-98; [9] Levine J., "Amer. J. Math.", 1967, v. 89, p. 69-84; [10] Mi1nоr J. W., в кн.: Conference on the topalogy of manifolds, v. 13, Boston (a.o.), 1968, p. 115-33.
А. В. Чернавский.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.