- УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
- формы, сопоставляемые трехмерным узлам и зацеплениям; нек-рые инварианты этих форм являются топологич. инвариантами изотопич. типа узлов и зацеплений. У. и з. к. ф. возникают в результате симметризации спариваний Зейферта (см. Зейферта матрица). Если V2- многообразие Зейферта зацепления L=(S3, l), а
- спаривание Зейферта, то билинейная симметричная формазаданная равенством
наз. квадратичной формой зацепления L. Форма qописывается матрицей М+М', где М - матрица Зейферта, а штрих означает транспонирование. Форма qсама по себе не является инвариантом зацепления L, однако ее сигнатураи единицы Минковского
где р - простое число, не зависят от выбора многообразия Зейферта. Они наз. соответственно сигнатурой и единицами Минковского зацепления . и обозначаются так:
Размерность n(q)радикала формы qтакже является инвариантом зацепления L. Число n(L)=n(q)+l наз. дефектом зацепления L. Имеют место неравенства:
где d(L) - максимальное число компонент связности, к-рое может иметь многообразие Зейферта зацепления L,a
-кратность, т. <е. число компонент зацепления L.
Пусть N- локально плоское двумерное ориентируемое подмногообразие шара D4 сРод h(N)многообразия N оценивается снизу следующим неравенством:
где- число компонент многообразия N. Нижняя граница для h(N)наз. 4-родом, или внешним родом зацепления L. Задача вычисления внешнего рода различных зацеплений тесно связана с задачей реализации двумерных гомологич. классов четырехмерных многообразий замкнутыми ориентируемыми поверхностями как можно меньшего рода. Внешний род всякого специального альтернирующего узла равен его роду и совпадает с половиной степени многочлена Александера. Срезанные узлы (см. Узлов кобордизм) - это узлы внешнего рода нуль. Сигнатура и единицы Минковского узла определяются его классом кобордизмов. Функция на группе кобордизмов одномерных узлов в S3 со значениями в группе
к-рая сопоставляет классу кобордизмов сигнатуру представляющего его узла, является гомоморфизмом, образ к-рого совпадает с подгруппой четных чисел. Число заузливания всякого узла не менее половины его сигнатуры.
У. и з. к. ф. тесно связаны с двулистными разветвленными накрывающимишара D4 с ветвлением над ориентируемыми двумерными поверхностями
с
В частности, сигнатура и единицы Минковского зацепления L=(S3, I )равны соответственно сигнатуре и единицам Минковского многообразия
Край
будучи двулистным накрытием сферы S3, разветвленным над зацеплением l, является инвариантом зацеплений L. В случае узлов
является конечной группой. Эта группа, а также форма коэффициентов зацепления
определяется квадратичной формой узла следующим образом. Группой с зацеплением или V- группой наз. парасостоящая из конечной абелевой группы Gи невырожденной билинейной: симметричной формы
Каждой невырожденной симметричной целочисленной
-матрице Асопоставляется V-группа
определяемая так: группа Gпорождается элементами g1, . ., gn со следующими определяющими соотношениями:
где
а
равно mod 1 элементу матрицы А -1,находящемуся на месте (i, j). Оказывается, что V-гpyппa, определяемая этим способом по матрице М+М' квадратичной формы узла, изоморфна V-гpyппe
многообразия
(см. [4], [9]). Числовые инварианты F-групп находятся методом Бланчфилда-Фокса [5]. С их помощью в нек-рых случаях удается различать узлы, имеющие изоморфные группы.
Инварианты зацепления в двулистном накрытии S3,разветвленном над узлом, могут быть найдены непосредственно но проекции узла с помощью следующей конструкции, к-рая приводит к квадратичной форме диаграммы узла. Регулярная проекция узла делит плоскость на области, к-рые могут быть однозначно окрашены в черный и белый цвета таким образом, чтобы бесконечная область G0 была окрашена в черный цвет, а всякие две области, примыкающие друг к другу по дуге, были бы окрашены в разные цвета. Пусть G0, G1,. . ., Gn - все черные области. Каждой двойной точке хдиаграммы узла сопоставляется следующим образом нек-рое числоПусть точка хявляется общей граничной точкой двух черных областей Gi и Gk. Если i=k, то
Если же
то
тогда и только тогда, когда вращение от перехода к проходу вокруг точки хпо черной области происходит по часовой стрелке; в противном случае
Образуется следующая
-матрица
где
- сумма всех чисел
отвечающих двойным точкам х, лежащим на границе области Gi, а
есть взятая с обратным знаком сумма всех чисел
где хпробегает всe общие граничные точки Gi и Gk. Форма
наз. квадратичной формой диаграммы узла. Матрица
определяется типом узла с точностью до следующего отношения связанности: две квадратные матрицы наз. связанными, если одна может быть переведена в другую конечной последовательностью следующих операций:
где Т- целочисленная унимодулярная матрица,
и обратных к ним. Модуль определителя матрицы Аявляется инвариантом узла и наз. детерминантом узла. Для всякого узла он нечетен и равен
где
- многочлен Александера (см. Александера инварианты). V -гpyппa, определяемая указанным выше способом по матрице квадратичной формы произвольной диаграммы, является инвариантом узла. Более того, эта V-группа изоморфна V-гpyппe
двулистного накрытия сферы S3,разветвленного над узлом К.
Лит.:[1] Heidemуister К., Knotentheorie, В., 1932; [2] Gоеritz L., лMath. Z.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.