ЗЕЙФЕРТА МАТРИЦА


ЗЕЙФЕРТА МАТРИЦА

- матрица, сопоставляемая узлам и зацеплениям для алгебраич. изучения их топологич. свойств. Названа в честь Г. Зейферта [1], применившего эту конструкцию для получения алгебраич. инвариантов одномерных узлов в S3. Пусть L=(Sn+2, ln )есть n-мерное m-компонентное зацепление, т. е. пара, состоящая из ориентированной сферы Sn+2 и ее дифференцируемого или кусочно линейного ориентированного подмногообразия ln, гомеоморфного несвязной сумме тэкземпляров сферы Sn. Существует компактное (n+1)-мерное ориентируемое подмногообразие Vсферы Sn+2 такое, что дV=l, оно наз. многообразием Зейферта зацепления L. Ориентация многообразия Зейферта Vопределяется ориентацией его края dV=l, и, поскольку ориентация сферы Sn + 2 фиксирована, нормальное расслоение к Vв Sn + 2 оказывается ориентированным, так что можно говорить о поле положительных нормалей к V. Пусть малый сдвиг вдоль этого поля, где Y- дополнение открытой трубчатой окрестности Vв Sn+2. Если n=2q-1 - нечетное число, то определено спаривание к-рое сопоставляет элементу коэффициент зацепления класса и класса

Спаривание 0 наз. спариванием Зейферта зацепления L. Если z1 или z2 имеет конечный порядок, то Имеет место формула

где справа - индекс пересечения классов z1 и z2 на V.

Пусть е 1,..., е k- базис свободной части группы HqV . Целочисленная (kk)-матрица наз. матрицей Зейферта зацепления L. 3. м. всякого (2q-1)-мерного узла обладает следующим свойством: матрица А+(-1)q А' унимодулярна, а если q=2, то сигнатура матрицы А+А', делится на 16 ( А' -матрица, транспонированная к А). Всякая целочисленная квадратная матрица Аявляется 3. м. нек-рого (2q-1)-мерного узла, если и матрица

А+(-1)qA' унимодулярна.

Аама по себе 3. м. не является инвариантом зацепления L;это связано с неоднозначностью построения многообразия Зейферта Vи выбора базиса el,..., е k. Матрицы вида

где a.- вектор-строка, а b - вектор-столбец, наз. элементарными расширениями квадратной матрицы А, а матрица Аназ. элементарной редукцией своих элементарных расширений. Две квадратные матрицы наз. S-э квивалентными, если одну можно получить из другой последовательностью элементарных редукций, элементарных расширений и унимодулярных конгруэнции (т. е. преобразований вида где Р- унимодулярная матрица). Для многомерных узлов (m=1) и для одномерных зацеплений (n=1) класс S-эквивалентности 3. м. является инвариантом типа зацепления L. В случае, когда L - узел, 3. м. Аполностью определяет Z[t, t-1]-модуль где -бесконечное циклическое накрывающее дополнения узла. Полиноминальная матрица tA+(-1)q А' является матрицей Александера (см. Александера инварианты )модуля 3. м. определяет также q-мерные гомологии и коэффициенты зацепления в циклич. накрытиях сферы S2q+1, разветвленных над зацеплением.

Лит.:[1] Seifеrt H.,"Math. Ann.", 1934, Bd 110, S. 571 - 592; [2]Кроуэлл Р., Фокс Р., Введение в теорию узлов, пер. с англ., М., 1967; [3] Levine J., "Ann. Math.", 1966, v. 84, p. 537-54; [4] его же, "Comment, math, helv.", 1970, v. 45, b. 185 - 98.

М. Ш, Фарбер.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ЗЕЙФЕРТА МАТРИЦА" в других словарях:

  • УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ — формы, сопоставляемые трехмерным узлам и зацеплениям; нек рые инварианты этих форм являются топологич. инвариантами изотопич. типа узлов и зацеплений. У. и з. к. ф. возникают в результате симметризации спариваний Зейферта (см. Зейферта матрица).… …   Математическая энциклопедия

  • УЗЛОВ КОБОРДИЗМ — (правильнее бордизм узлов, см. Бордизм) отношение эквивалентности на множестве узлов, более слабое, чем изотопич. тип. Два гладких n мерных узла и наз. кобордантными, если существует гладкое ориентированное (n+1) мерное подмногообразие V… …   Математическая энциклопедия

  • АЛЬТЕРНИРУЮЩИЕ УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ — узлы и зацепления, имеющие альтернирующую диаграмму (см. Узлов и зацеплений диаграммы), т. е. такую проекцию в общее положение на плоскость, при к рой при обходе каждой компоненты проходы сверху и снизу двойных точек чередуются. Каждую диаграмму… …   Математическая энциклопедия

  • ДРЕВОВИДНОЕ МНОГООБРАЗИЕ — гладкое нечетномерное многообразие специального вида, являющееся краем четномерного многообразия, строящегося из расслоений над сферами с помощью склеек по схеме, задаваемой нек рым графом (деревом). Пусть pi: i= 1,2, ... расслоение над n сферами …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.