ЗЕЙФЕРТА МАТРИЦА

- матрица, сопоставляемая узлам и зацеплениям для алгебраич. изучения их топологич. свойств. Названа в честь Г. Зейферта [1], применившего эту конструкцию для получения алгебраич. инвариантов одномерных узлов в S³. Пусть L=(Sⁿ⁺², lⁿ )есть n-мерное m-компонентное зацепление, т. е. пара, состоящая из ориентированной сферы Sⁿ⁺² и ее дифференцируемого или кусочно линейного ориентированного подмногообразия lⁿ, гомеоморфного несвязной сумме тэкземпляров сферы Sⁿ. Существует компактное (n+1)-мерное ориентируемое подмногообразие Vсферы Sⁿ⁺² такое, что дV=l, оно наз. многообразием Зейферта зацепления L. Ориентация многообразия Зейферта Vопределяется ориентацией его края dV=l, и, поскольку ориентация сферы S^{n + 2} фиксирована, нормальное расслоение к Vв S^{n + 2} оказывается ориентированным, так что можно говорить о поле положительных нормалей к V. Пусть малый сдвиг вдоль этого поля, где Y- дополнение открытой трубчатой окрестности Vв Sⁿ⁺². Если n=2q-1 - нечетное число, то определено спаривание к-рое сопоставляет элементу коэффициент зацепления класса и класса

Спаривание 0 наз. спариванием Зейферта зацепления L. Если z₁ или z₂ имеет конечный порядок, то Имеет место формула

где справа - индекс пересечения классов z₁ и z₂ на V.

Пусть е ₁,..., е _k- базис свободной части группы HqV . Целочисленная (kk)-матрица наз. матрицей Зейферта зацепления L. 3. м. всякого (2q-1)-мерного узла обладает следующим свойством: матрица А+(-1)^q А' унимодулярна, а если q=2, то сигнатура матрицы А+А', делится на 16 ( А' -матрица, транспонированная к А). Всякая целочисленная квадратная матрица Аявляется 3. м. нек-рого (2q-1)-мерного узла, если и матрица

А+(-1)^qA' унимодулярна.

Аама по себе 3. м. не является инвариантом зацепления L;это связано с неоднозначностью построения многообразия Зейферта Vи выбора базиса e_l,..., е _k. Матрицы вида

где a.- вектор-строка, а b - вектор-столбец, наз. элементарными расширениями квадратной матрицы А, а матрица Аназ. элементарной редукцией своих элементарных расширений. Две квадратные матрицы наз. S-э квивалентными, если одну можно получить из другой последовательностью элементарных редукций, элементарных расширений и унимодулярных конгруэнции (т. е. преобразований вида где Р- унимодулярная матрица). Для многомерных узлов (m=1) и для одномерных зацеплений (n=1) класс S-эквивалентности 3. м. является инвариантом типа зацепления L. В случае, когда L - узел, 3. м. Аполностью определяет Z[t, t^-1]-модуль где -бесконечное циклическое накрывающее дополнения узла. Полиноминальная матрица tA+(-1)^q А' является матрицей Александера (см. Александера инварианты )модуля 3. м. определяет также q-мерные гомологии и коэффициенты зацепления в циклич. накрытиях сферы S^2q+1, разветвленных над зацеплением.

Лит.:[1] Seifеrt H.,"Math. Ann.", 1934, Bd 110, S. 571 - 592; [2]Кроуэлл Р., Фокс Р., Введение в теорию узлов, пер. с англ., М., 1967; [3] Levine J., "Ann. Math.", 1966, v. 84, p. 537-54; [4] его же, "Comment, math, helv.", 1970, v. 45, b. 185 - 98.

М. Ш, Фарбер.