АБЕЛЯ ТЕОРЕМА

- 1) А. т. об алгебраических уравнениях : ни для какого п, большего или равного пяти, нельзя указать формулу, к-рая выражала бы корни любого уравнения n-й степени через его коэффициенты при помощи радикалов. Найдена Н. Абелем в 1824 (см. [1]). А. т. может быть получена также как следствие Галуа теории, из к-рой вытекает и более общее утверждение: для любого существуют алгебраич. уравнения с целыми коэффициентами, корни к-рых не выражаются через радикалы из рациональных чисел. Современную формулировку А. т. для уравнений над произвольным полем см. Алгебраическое уравнение.

2) А. т. для степенных рядов: если степенной ряд

где - комплексные числа, сходится при то он абсолютно и равномерно сходится в любом круге радиуса с центром в точке b. Установлена Н. Абелем [2]. Из этой теоремы вытекает, что существует число обладающее тем свойством, что при ряд сходится, а при расходится. Это число Rназ. радиусом сходимости ряда (*), а круг наз. кругом сходимости ряда (*).

3) А. т. о непрерывности: если степенной ряд (*) сходится в точке z₀ границы круга сходимости, то он представляет собой непрерывную функцию в любом замкнутом треугольнике Т с вершинами где лежат внутри круга сходимости. В частности,

Этот предельный переход всегда можно осуществить по радиусу: на всем радиусе круга сходимости, соединяющем точки будет сходиться равномерно. Эта теорема используется, в частности, для вычисления суммы степенного ряда, сходящегося в точках на границе круга сходимости.

4) А. т. для рядов Дирихле: если Дирихле ряд

сходится в точке то он сходится в полуплоскости и сходится равномерно внутри любого угла Является обобщением А. т. для степенных рядов (достаточно взять и обозначить ). Из теоремы следует, что область сходимости ряда Дирихле - нек-рая полуплоскость где с - абсцисса сходимости ряда.

Для обыкновенного ряда Дирихле с известной асимптотикой для сумматорной функции коэффициентов ряда справедлива следующая теорема: если

где - комплексные числа, - действительное число, то ряд Дирихле сходится при функция регулярно продолжается на полуплоскость исключая точку причем

если

если Здесь - регулярная при функция. Напр., дзета-функция Римана ( ) регулярна по крайней мере в полуплоскости исключая точку в к-рой она имеет полюс 1-го порядка с вычетом, равным 1. Эта теорема допускает различные обобщения. Так, если

где - любые комплексные числа, и то ряд Дирихле сходится при регулярен в области исключая точки в к-рых он имеет алгебраич. или логариф-мич. особенности. Теоремы такого типа позволяют на основании асимптотики получать определенные сведения о поведении ряда Дирихле в нек-рой полуплоскости.