АБЕЛЯ - ГОНЧАРОВА ПРОБЛЕМА

АБЕЛЯ - ГОНЧАРОВА ПРОБЛЕМА

проблема Гончарова, - проблема в теории функций комплексного переменного, состоящая в нахождении множества всех функций из того или иного класса, удовлетворяющих соотношениям где - допустимые для данного класса последовательности комплексных чисел. Эта проблема была поставлена В. Л. Гончаровым (см. [2]). Функции ставится в соответствие ряд


- интерполяционный ряд Абеля-Гончарова, где - полином Гончарова, определяемый равенствами:


Случай, когда - действительные числа с формальной точки зрения рассмотрен Н. Абелем . Здесь


Ряд (*) является инструментом для изучения нулей последовательных производных регулярных функций. Множество функций представимых рядом (*), наз. классом сходимости А.- Г. п.

В случае был выделен класс сходимости А.- Г. п. в терминах ограничений на порядок и тип целых функций /(z) в зависимости от роста величины (см. [2]).

В случае где - медленно растущая функция, был получен в нек-ром смысле точный класс сходимости А.- Г. п. (см. [6]). Были выделены также классы сходимости А.- Г. п. для целых функций конечного и бесконечного порядков в терминах различных ограничений, наложенных на индикаторы соответствующих классов функций; рассмотрена А.- Г. п. для целых функций многих переменных. Для нек-рого класса узлов интерполяции получены точные оценки полиномов Гончарова.

Пусть - класс функций f(z) вида


- класс всевозможных последовательностей таких, что n= 0,1,.... Границей сход и мости для класса La наз. верхняя грань тех значений r, для к-рых всякая функция представима рядом (*). Нижняя грань тех r, для к-рых существуют функция и последовательность такие, что наз. границей единственности. Величины наз. соответственно константами Уиттекера и Гончарова. Было показано, что (см. [6]); доказаны также более общие утверждения:


(см. [5], [10]).

Таким образом, при А.- Г. п. сводится к нахождению константы Ее точное числовое значение неизвестно, однако найдены оценки: 0,7259<W1<0,7378 (см. [9]).

При рассмотрении А.- Г. п. в классе функций, регулярных в области и таких, что было показано, что для любого множества чисел удовлетворяющих условию


где - возрастающая подпоследовательность натуральных чисел, из равенств

следует Причем для любого числа b>0 cуществуют последовательность


и функция для к-рых

(см.[7]).

А.- Г. п. включает так наз. задачу о двух точках, поставленную Э. Уиттекером (см. [12]). Пусть последовательности таковы, что Задача состоит в выяснении условий, при к-рых существует регулярная на отрезке [0, 1] функция удовлетворяющая условиям Эта задача решалась в различных подклассах класса функций, регулярных в круге Полученные в нек-ром смысле точные условия выражены в терминах различных ограничений, наложенных на коэффициенты avk разложений


в зависимости от (см. [3]). Эта задача была обобщена, для решения ее были использованы методы теории бесконечных систем линейных уравнений (см. [4]). В частном случае, когда последовательность образует арифметич. прогрессию для целых функций экспоненциального типа, задача о двух точках в известном смысле решена до конца (см. [8]).



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "АБЕЛЯ - ГОНЧАРОВА ПРОБЛЕМА" в других словарях:

  • ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ — интерполяция, в простейшем, классическом смысле конструктивное восстановление (быть может, приближенное) функции определенного класса по известным ее значениям или значениям ее производных в данных точках. Пусть даны n+l точек сегмента D=[ а, b] …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС — процесс получения последовательности интерполирующих функций {fn(z)} при неограниченном возрастании числа n условий интерполирования. Если интерполирующие функции fn(z)представлены в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то последний …   Математическая энциклопедия

  • Интерполяционные ряды — вошли в математику в основном благодаря Ньютону. Первые их примеры  бесконечный интерполяционный ряд Ньютона и ряд Тейлора. В XVIII в. бесконечными интерполяционными рядами как инструментом математического анализа широко пользовались… …   Википедия

  • Интерполяционный ряд — Интерполяционные ряды вошли в математику в основном благодаря Ньютону. Первые их примеры бесконечный интерполяционный ряд Ньютона и ряд Тейлора. В XVIII в. бесконечными интерполяционными рядами как инструментом математического анализа широко… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»