- АБЕЛЯ - ГОНЧАРОВА ПРОБЛЕМА
проблема Гончарова, - проблема в теории функций комплексного переменного, состоящая в нахождении множества всех функций
из того или иного класса, удовлетворяющих соотношениям
где
- допустимые для данного класса последовательности комплексных чисел. Эта проблема была поставлена В. Л. Гончаровым (см. [2]). Функции
ставится в соответствие ряд
- интерполяционный ряд Абеля-Гончарова, где
- полином Гончарова, определяемый равенствами:
Случай, когда
- действительные числа
с формальной точки зрения рассмотрен Н. Абелем
. Здесь
Ряд (*) является инструментом для изучения нулей последовательных производных регулярных функций. Множество функций
представимых рядом (*), наз. классом сходимости А.- Г. п.
В случае был выделен класс сходимости А.- Г. п. в
терминах ограничений на порядок и тип целых функций /(z) в зависимости от роста величины
(см. [2]).
В случае
где
- медленно растущая функция,
был получен в нек-ром смысле точный класс сходимости А.- Г. п. (см. [6]). Были выделены также классы сходимости А.- Г. п. для целых функций конечного и бесконечного порядков в терминах различных ограничений, наложенных на индикаторы соответствующих классов функций; рассмотрена А.- Г. п. для целых функций многих переменных. Для нек-рого класса узлов интерполяции получены точные оценки полиномов Гончарова.
Пусть
- класс функций f(z) вида
- класс всевозможных последовательностей
таких, что
n= 0,1,.... Границей сход и мости для класса La наз. верхняя грань
тех значений r, для к-рых всякая функция
представима рядом (*). Нижняя грань
тех r, для к-рых существуют функция
и последовательность
такие, что
наз. границей единственности. Величины
наз. соответственно константами Уиттекера и Гончарова. Было показано, что
(см. [6]); доказаны также более общие утверждения:
(см. [5], [10]).
Таким образом, при
А.- Г. п. сводится к нахождению константы
Ее точное числовое значение неизвестно, однако найдены оценки: 0,7259<W1<0,7378 (см. [9]).
При рассмотрении А.- Г. п. в классе
функций, регулярных в области
и таких, что
было показано, что для любого множества чисел
удовлетворяющих условию
где
- возрастающая подпоследовательность натуральных чисел, из равенств
следует
Причем для любого числа b>0 cуществуют последовательность
и функция
для к-рых
(см.[7]).
А.- Г. п. включает так наз. задачу о двух точках, поставленную Э. Уиттекером (см. [12]). Пусть последовательности
таковы, что
Задача состоит в выяснении условий, при к-рых существует регулярная на отрезке [0, 1] функция
удовлетворяющая условиям
Эта задача решалась в различных подклассах класса функций, регулярных в круге
Полученные в нек-ром смысле точные условия выражены в терминах различных ограничений, наложенных на коэффициенты avk разложений
в зависимости от
(см. [3]). Эта задача была обобщена, для решения ее были использованы методы теории бесконечных систем линейных уравнений (см. [4]). В частном случае, когда последовательность
образует арифметич. прогрессию для целых функций экспоненциального типа, задача о двух точках в известном смысле решена до конца (см. [8]).
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.