АБЕЛЯ - ГОНЧАРОВА ПРОБЛЕМА

проблема Гончарова, - проблема в теории функций комплексного переменного, состоящая в нахождении множества всех функций из того или иного класса, удовлетворяющих соотношениям где - допустимые для данного класса последовательности комплексных чисел. Эта проблема была поставлена В. Л. Гончаровым (см. [2]). Функции ставится в соответствие ряд

- интерполяционный ряд Абеля-Гончарова, где - полином Гончарова, определяемый равенствами:

Случай, когда - действительные числа с формальной точки зрения рассмотрен Н. Абелем . Здесь

Ряд (*) является инструментом для изучения нулей последовательных производных регулярных функций. Множество функций представимых рядом (*), наз. классом сходимости А.- Г. п.

В случае был выделен класс сходимости А.- Г. п. в терминах ограничений на порядок и тип целых функций /(z) в зависимости от роста величины (см. [2]).

В случае где - медленно растущая функция, был получен в нек-ром смысле точный класс сходимости А.- Г. п. (см. [6]). Были выделены также классы сходимости А.- Г. п. для целых функций конечного и бесконечного порядков в терминах различных ограничений, наложенных на индикаторы соответствующих классов функций; рассмотрена А.- Г. п. для целых функций многих переменных. Для нек-рого класса узлов интерполяции получены точные оценки полиномов Гончарова.

Пусть - класс функций f(z) вида

- класс всевозможных последовательностей таких, что n= 0,1,.... Границей сход и мости для класса L_a наз. верхняя грань тех значений r, для к-рых всякая функция представима рядом (*). Нижняя грань тех r, для к-рых существуют функция и последовательность такие, что наз. границей единственности. Величины наз. соответственно константами Уиттекера и Гончарова. Было показано, что (см. [6]); доказаны также более общие утверждения:

(см. [5], [10]).

Таким образом, при А.- Г. п. сводится к нахождению константы Ее точное числовое значение неизвестно, однако найдены оценки: 0,7259<W₁<0,7378 (см. [9]).

При рассмотрении А.- Г. п. в классе функций, регулярных в области и таких, что было показано, что для любого множества чисел удовлетворяющих условию

где - возрастающая подпоследовательность натуральных чисел, из равенств

следует Причем для любого числа b>0 cуществуют последовательность

и функция для к-рых

(см.[7]).

А.- Г. п. включает так наз. задачу о двух точках, поставленную Э. Уиттекером (см. [12]). Пусть последовательности таковы, что Задача состоит в выяснении условий, при к-рых существует регулярная на отрезке [0, 1] функция удовлетворяющая условиям Эта задача решалась в различных подклассах класса функций, регулярных в круге Полученные в нек-ром смысле точные условия выражены в терминах различных ограничений, наложенных на коэффициенты a_vk разложений

в зависимости от (см. [3]). Эта задача была обобщена, для решения ее были использованы методы теории бесконечных систем линейных уравнений (см. [4]). В частном случае, когда последовательность образует арифметич. прогрессию для целых функций экспоненциального типа, задача о двух точках в известном смысле решена до конца (см. [8]).