ГРУПП МНОГООБРАЗИЕ


ГРУПП МНОГООБРАЗИЕ

- класс всех групп, удовлетворяющих фиксированной системе тождественных соотношений


где vпробегает нек-рое множество Vгрупповых слов, т. е. элементов свободной группы X со свободными образующими x1,..., xn ... . Как и всякое алгебраических систем многообразие Г. м. может быть определено также замкнутостью относительно подсистем (подгрупп), гомоморфных образов и декартовых произведений. Наименьшее многообразие, содержащее данный класс групп, обозначается . Относительно операций пересечения многообразий и объединения многообразий, определяемого формулой Г. м. образуют полную модулярную, но не дистрибутивную решетку. Произведение многообразий и определяется как Г. м., состоящее из всех групп G, обладающих нормальной подгруппой такой, что Каждое Г. м., отличное от многообразия единичных групп и многообразия всех групп, однозначно представило в виде произведения далее неразложимых Г. м.

Примеры Г. м.: многообразие всех абелевых групп, бернсайдово многообразие всех групп экспоненты (показателя) п, определяемое тождеством , многообразие многообразие всех нильпотентных групп класса , многообразие всех разрешимых групп длины , в частности при - многообразие метабелевых групп.

Пусть - нек-рое свойство групп. Говорят, что Г. м. обладает свойством (локально обладает свойством ), если каждая группа из (каждая конечно порожденная группа из ) обладает свойством . Именно в этом смысле говорят, что многообразие нильпотентное, локально нилытотентное, локально конечное и т. д.

Свойства разрешимого Г. м. зависят от Так, если , то при нек-рых подходящих пи с(см. [2], [3]). Описание метабелевых Г. м. в значительной степени сводится к описанию локально конечных Г. м.: если метабелево многообразие не локально конечно, то


где однозначно представимо в виде объединения конечного числа Г. м. вида локально конечно [4]. Некоторые локально конечные метабелевые многообразия описаны, напр, многообразия />-групп класса (см. [5]).

Г. м. наз. кроссовым, если оно порождается конечной группой. Кроссовы Г. м. локально конечны. Г. м. наз. почти кроссовым, если оно не кроссово, но всякое его собственное подмногообразие кроссово. Разрешимые почти кроссовы многообразия исчерпываются многообразиями где - различные простые числа, при нечетном qи (см. [6]). Существуют, однако, другие почти кроссовы многообразия; такие, напр., содержатся во всяком многообразии всех локально конечных групп экспоненты (см. [7]). В изучении локально конечных Г. м. важную роль играют Критические группы - конечные группы, не лежащие в многообразии, порожденном всеми их собственными подгруппами п факторгруппами. В кроссовом многообразии может содержаться лишь конечное число неизоморфных крнтнч. групп. Всякое локально конечное многообразие порождается своими критич. группами.

Г. м. наз. конечно базируемым, если оно может быть задано конечным числом тождеств. Таковы, напр., все кроссовы, нильпотентные и метабелевы многообразия. Доказано [8] существование не конечно базируемых Г. м. и континуальность количества всех Г. м. Прилгеры бесконечных независимых систем тождеств приведены в [9]. Произведение конечно базируемых Г. м. не обязано быть конечно базируемым, в частности не имеет конечного базиса.

Г. м. наз. многообразием лиевского типа, если оно порождается своими нильпотентными группами без кручения. Если, кроме того, факторы нижнего центрального ряда свободных групп многообразия - группы без кручения, то многообразие наз. магнусовым. Класс многообразий лиевского типа не совпадает с классом магнусовых многообразий; каждый из них замкнут относительно операции умножения многообразий [10]. Магнусовымн являются, напр., многообразие всех групп, многообразия и многообразия, получающиеся из многообразий с помощью применения в конечном числе операций пересечения и умножения [11].

Лит.:[1] Нейман X., Многообразия групп, пер. с англ., М., 1969; [2] Каргаполов М. И., Чуркин В. А., "Алгебра и логика", 1971, т. 10, вып. 6, с. 651-57; [3] Groves J.R. F., "Bull. Austr. Math. Soc.", 1972, v. 7, № 3, p. 437-41; [4] Вrayce R. A., "Philos. Trans. Roy. Soc. London", ser. A 266, 1970, № 1176, p. 281 - 355; [5] Вris1eу W., "J. Austr. Math. Soc.", 1971, v. 12, .Ni 1, p. 53-63; [6] Ольшанский А. Ю., "Матем. сб.", 1971, т. 85, № 1, с. 115-31; [7] Размыслов Ю. <П., "Алгебра и логика", 1971,т. 10,в. 1, с. 33-44; [8] Ольшанский А. Ю., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1970, т. 34, .N" 2, с. 376-84; [9] Адян С. И., Проблема Бернсайда и тождества в группах, М., 1975; [10] Шмелькин А. Л., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1973, т. 29, с. 247-60; [11] Горчаков Ю. М., "Сиб, матем. журнал", 1969, т. 10, №5, с. 1023-33. А. Л. Шмелъкин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГРУПП МНОГООБРАЗИЕ" в других словарях:

  • МНОГООБРАЗИЕ — геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений… …   Математическая энциклопедия

  • Многообразие — Многообразие  топологическое пространство, которое локально выглядит как «обычное» евклидово пространство . Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли. Возможно …   Википедия

  • Многообразие (топология) — Многообразие  пространство, которое локально выглядит как «обычное» Евклидово пространство . Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли, на которой небольшие области …   Википедия

  • Многообразие —         математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. e. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п. и поверхности без самопересечений, краев и т.… …   Большая советская энциклопедия

  • МНОГООБРАЗИЕ — категорий понятие, аналогичное понятию многообразия универсальных алгебр. Пусть бикатегория с произведениями. Полная подкатегория категории наз. многообразием, если она удовлетворяет следующим условиям: а) если допустимый мономорфизм и б) если… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУГРУПП МНОГООБРАЗИЕ — класс полугрупп, задаваемый системой тождеств (см. Алгебраических систем многообразие). Всякое П. м. будет либо периодическим, т. е. состоит из периодич. полугрупп, либо надкоммутативным, т …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ МНОГООБРАЗИЕ — алгебраических систем класс фиксированной сигнатуры и, аксиоматизируемый при помощи тождеств, т. е. формул вида где к. л. предикатный символ из или знак равенства, а термы сигнатуры Q от предметных переменных А. с. м. наз. иначе э к,… …   Математическая энциклопедия

  • Единство и многообразие культур — Возникновение человеческого общества Определение культуры Этнос и этничность Названия народов Типология культур Расовые типологии Этногенез и этническая история Этнодемографические процессы Характер расселения и поселений Социальная организация… …   Энциклопедия «Народы и религии мира»

  • ГРАССМАНА МНОГООБРАЗИЕ — множество всех мерных подпространств в n мерном векторном пространстве Vнад телом k. Если k поле, то с помощью грассмановых координат (см. Внешняя алгебра).вкладывается в мерное проективное пространство над kв виде компактного алгебраич.… …   Математическая энциклопедия

  • КЭЛЕРОВО МНОГООБРАЗИЕ — комплексное многообразие, на к ром можно ввести Кэлера метрику. Иногда такие многообразия на …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ГРУПП МНОГООБРАЗИЕ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.