ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА


ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА

локально бикомпактной группы - топологическая алгебра с инволюцией, образованная функциями на группе и такая, что в ней умножение определяется как свертка. Пусть банахово пространство построено с помощью левоинвариантной Хаара меры. на локально бикомпактной топологич. группе G н пусть в умножение определяется как свертка а инволюция - по формуле , где - модуль группы G. Полученная банахова алгебра с инволюцией наз. групповой алгеброй группы G и обозначается также через . Если G - конечная группа, то определение Г. а. совпадает с обычным алгебраич. определением Г. а. над полем комплексных чисел.

Понятие Г. а. позволяет применять общие методы теории банаховых алгебр в задачах теории групп и, в частности, в абстрактном гармонич. анализе. Свойства Г. а. как банаховой алгебры отражают свойства топологич. группы: так, Г. а. содержит единичный элемент тогда и только тогда, когда группа дискретна; Г. а. является прямой суммой (топологической) своих конечномерных минимальных двусторонних идеалов тогда н только тогда, когда группа бикомпактна. Исключительно важную роль играет понятие Г. а. в теории унитарных представлений группы: между непрерывными унитарными представлениями топологич. группы G и невырожденными симметричными представлениями Г. а. существует взаимно однозначное соответствие, сопоставляющее непрерывному унитарному представлению p группы G в гильбертовом пространстве Нпредставление Г. а. , определяемое формулой


Г. а. локально бикомпактных групп обладают рядом общих свойств. Именно, любая Г. а. содержит аппроксимативную единицу (см. Банахова алгебра), образованную семейством характеристпч. функций окрестностей единичного элемента, упорядоченных по включению (ь сторону убывания); поэтому для Г. а. можно установить соответствие между положительными функционалами на Г. а. н ее симметричными представлениями. Любая Г. а. является полупростой алгеброй и имеет симметричное точное представление. В частности, представление Г. а., определяемое регулярным представлением группы, является точным. Замкнутые левые идеалы суть замкнутые векторные подпространства , инвариантные относительно левого сдвига.

Иногда групповой алгеброй наз. банахова алгебра с инволюцией, полученная из Г. а. присоединением единицы. Существует ряд других алгебр с инволюцией, к-рые иногда наз. групповыми алгебрами. К их числу относятся, в частности: алгебра мер относительно свертки; алгебры относительно обычного умножения, напр, алгебра существенно ограниченных измеримых по мере Хаара функций, алгебра комплексных линейных комбинаций непрерывных положительно определенных функций. Множество и совокупность непрерывных финитных функций образуют алгебру и относительно свертки, и относительно обычного умножения. Имеет место следующая таблица, в к-рой стрелки означают включения:


Лит.:[1] Наймарк М. А., Нормированное кольца 2 изд., М.. 1968; [2] Guichardet A., Analyse harmonique commutative, P., 1968. А. И. Штерн.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА" в других словарях:

  • ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА — группы G над полем K ассоциативная алгебра над полем К, элементами к рой являются всевозможные формальные конечные суммы вида а операции определяются формулами: (в правой части второй формулы сумма также конечна). Эта алгебра обозначается… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРА — часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Исторический очерк. Простейшие алгебраич. операции арифметич. действия над натуральными и положительными рациональными числами встречаются в самых ранних математич. текстах,… …   Математическая энциклопедия

  • СИММЕТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — алгебра Енад полем комплексных чисел, снабженная инволюцией . Примерами С. а. являются: алгебра непрерывных функций на компакте, в к рой инволюция определяется как переход к комплексно сопряженной функции; алгебра ограниченных линейных операторов …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ ГРУППОВАЯ СХЕМА — групповая схема Gнад базисной схемой S, значение к рой на любой S схеме является абелевой группой. Примерами К. г. с. служат абелевы схемы и алгебраические торы. Обобщением алгебраич. торов в рамках теории групповых схем служит следующее понятие …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУГРУППОВАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ф(S).над полем Ф, обладающая базисом S, являющимся одновременно и мультипликативной полугруппой. В частности, если базис Sявляется группой, получается групповая алгебра. Если полугруппа Sсодержит нуль, то он обычно отождествляется с нулем …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ БАНАХОВА АЛГЕБРА — банахова алгебра Ас единицей над полем С, в к рой ху=ух для всех Всякий максимальный идеал К. б. а. Аявляется ядром нек рого линейного непрерывного мультипликативного функционала j на А, т …   Математическая энциклопедия

  • БАНАХОВА АЛГЕБРА — топологическая алгебра А над полем комплексных чисел, топология к рой определяется нормой, превращающей Ав банахово пространство, причем умножение элементов непрерывно по каждому из сомножителей. Б. а. наз. коммутативной, если Для всех (см.… …   Математическая энциклопедия

  • ФРОБЕНИУСОВА АЛГЕБРА — конечномерная алгебра Rнад полем Ртакая, что левые R модули . и Ноm р (R, Р)изоморфны. На языке представлении это означает эквивалентность правого и левого регулярных представлений. Всякая групповая алгебра конечной группы над полем является Ф. а …   Математическая энциклопедия

  • КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР — группы (см. ФункторExt), где D ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом Кс фиксированным гомоморфизмом K алгебр позволяющим рассматривать кольцо Ккак Л модуль, a А есть R модуль. Это определение охватывает наиболее распространенные теории… …   Математическая энциклопедия

  • БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — группы Ли представление группы Ли в бесконечномерном векторном пространстве. Теория представлений групп Ли есть часть общей теории, представлений то пологич. групп. Специфика групп Ли позволяет использовать в этой теории средства анализа (в… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.