КОММУТАТИВНАЯ БАНАХОВА АЛГЕБРА

- банахова алгебра Ас единицей над полем С, в к-рой ху=ух для всех Всякий максимальный идеал К. б. а. Аявляется ядром нек-рого линейного непрерывного мультипликативного функционала j на А, т. <е. гомоморфизма алгебры Ав поле комплексных чисел. Обратно, всякий линейный мультипликативный функционал на К. б. а. непрерывен, имеет норму 1, и его ядром служит максимальный идеал в А. Пусть Ф - множество линейных мультипликативных функционалов на А. Элемент тогда и только тогда обратим, когда для всех Более того, спектр s(а). состоит в точности из чисел вида j(а). Если линейный непрерывный функционал y на Атаков, что для любого то y - мультипликативный функционал; для алгебр над полем действительных чисел это, вообще говоря, уже неверно.

Примеры описания максимальных идеалов в К. б. а. Пусть А = С (Х)- алгебра всех непрерывных функций на компакте X. Если х ₀- фиксированная точка из X, то совокупность функций для к-рых f(x₀)=0, образует максимальный идеал, и в С(X)нет других максимальных идеалов. Если X - компакт на комплексной плоскости и A = R(X)- замкнутая подалгебра в С(Х), состоящая из функций, к-рые равномерно аппроксимируются на X рациональными функциями с полюсами вне X, то максимальные идеалы в R(X)устроены так же, как и в С(X). Пусть L¹(G) - групповая алгебра, где G- дискретная абелева группа, и каждому элементу ставится в соответствие его преобразование Фурье. Если ф - мультипликативный линейный функционал на L¹(G), то для нек-рого c₀ из группы характеров Gгруппы G, поэтому множество максимальных идеалов в L¹(G)находится во взаимно однозначном соответствии с множеством элементов группы В применении к группе целых чисел %последний пример приводит к доказательству известной теоремы Винера: если функция f(t)разлагается в абсолютно сходящийся тригонометрия, ряд и не обращается в нуль на [0, 2p], то также разлагается в абсолютно сходящийся тригонометрич. ряд.

Так как мультипликативные линейные функционалы имеют норму 1, то каждый такой функционал является элементом из единичной сферы банахова пространства, сопряженного А. Множество Ф всех мультипликативных линейных функционалов на Азамкнуто в слабой топологии сопряженного пространства. Так как единичный тар сопряженного пространства есть компакт в слабой топологии сопряженного пространства, то и Ф в этой топологии является компактом, к-рый наз. пространством максимальных идеалов алгебры Аи обозначается через

Если К. б. а. содержит нетривиальный идемпотент, т. е. такой элемент что и f²=f, то пространство максимальных идеалов алгебры .А несвязно. Обратно, если пространство Xмаксимальных идеалов алгебры Апредставимо в виде объединения двух непересекающихся замкнутых множеств Х ₀ и Х ₁, то существует элемент такой, что и (теорема Шилова). В частности, пространство максимальных идеалов К. б. а. связно тогда и только тогда, когда эта алгебра не может быть представлена в виде прямой суммы двух своих нетривиальных идеалов.

Пусть e₁ (А).- подгруппа в группе e(А). обратимых элементов алгебры А, состоящая из экспонент, т. е. элементов вида Подгруппа e₁(A) образует связную компоненту единицы в группе e(А). Для любого компакта Xимеется канонический изоморфизм между группами H¹(X, Z )и e(С)/e₁ (С), где С-С (Х)- алгебра всех непрерывных функций на X(теорема Брушлинского - Эйленберга). Оказывается, этот изоморфизм естественно индуцирует изоморфизм между H¹ (Х, Z)и e(А)/e₁ (А), где А- любая К. б. а., пространством максимальных идеалов к-рой является X(теорема Аренса - Ройдена). В нек-рых случаях аналогичную интерпретацию допускают группы НЧ( Х, Z )с нечетным q. Алгебра Адопускает следующее каноническое представление в алгебру Преобразованием Гельфанда элемента наз. функция ана M, значение к-рой в каждой точке определяется правилом где j _х- линейный мультипликативный функционал, соответствующий точке Ядром гомоморфизма а|->а служит совокупность элементов принадлежащих всем максимальным идеалам, т. е. радикал алгебры А. Если алгебра Аполупроста, т. <е. Rad A={0}, то гомоморфизм оказывается (алгебраическим) изоморфизмом A в С(). Полупростые К: б. а. часто наз. алгебрами функций.

Представление Гельфанда хорошо приспособлено для изучения полупростых алгебр: один из основных результатов теории К. б. а. есть возможность изоморфного представления полупростой алгебры в алгебру непрерывных функций на пространстве максимальных идеалов. Об общих алгебрах с радикалом известно гораздо меньше, чем о полупростых. Описаны все идеалы в алгебре комплексных полиномов степени Эта алгебр'а состоит из формальных полиномов x=a₀+a₁l+...+а _тl ^т, к-рые перемножаются по обычным правилам, но с учетом соотношения l ^т+1=0. Такая алгебра конечномерна, все нормы в ней эквивалентны и любой идеал замкнут. Совокупность I_k тех x, для к-рых a_j=0 при образует замкнутый идеал; других идеалов в этой алгебре нет. Всякая алгебра с единственным нетривиальным идеалом изоморфна алгебре полиномов первой степени. До сих пор неизвестно (1978), верно ли это для алгебр с единственным замкнутым идеалом.

Естественным бесконечномерным аналогом алгебры полиномов служат алгебры бесконечных комплексных формальных степенных рядов x= a₀+a₁l+a₁l²+... с обычными операциями и нормой где a_k- положительная последовательность, удовлетворяющая условию Если при то единственным нетривиальным гомоморфизмом алгебры в поле комплексных чисел служит Таким образом, I₁ является единственным максимальным идеалом, и этот идеал совпадает с радикалом. Идеалы I_k, определяемые аналогично конечномерному случаю, дают счетный набор различных замкнутых идеалов. Если последовательность a_k+1/a_k. монотонна, то этим набором идеалов исчерпываются все замкнутые идеалы. В общем случае алгебра может содержать континуальное семейство различных замкнутых идеалов.

При надлежащем выборе последовательности a_k в рассматриваемой алгебре (не имеющей нетривиальных нильпотентов) можно задать ненулевое непрерывное дифференцирование, т. е. ограниченный линейный оператор Dтакой, что D(xh) = D(Dx)h+x(Dh). В полупростых алгебрах нет нетривиальных непрерывных дифференцирований, так как в любой (не обязательно коммутативной) алгебре имеет место тождество

если x и Dxкоммутируют. В частности, если Dнепрерывен, то Dx,- обобщенный нильпотент.

Любая конечномерная алгебра разлагается в прямую сумму радикала и полупростой алгебры. В бесконечномерном случае аналогичное утверждение, вообще говоря, перестает быть справедливым даже для К. б. а. Кроме того, приходится различать случаи алгебраической и сильной (топологической) разложимости.

Оказывается, никакие условия, наложенные только на радикал, не обеспечивают даже алгебраич. разложимости: радикал может быть одномерным и аннулирующим нек-рый максимальный идеал и, тем не менее, не выделяться в качестве прямого слагаемого хотя бы в алгебраич. смысле.

С другой стороны, если радикал конечномерен, а факторалгебра есть алгебра всех непрерывных функций (или алгебра всех операторов в гильбертовом пространстве), то имеется сильная разложимость. Если факторалгебра есть алгебра всех непрерывных функций и R - ее аннуляторный радикал (т. е. такой, что квадрат любого элемента в Rравен нулю) и Аимеет банахово дополнение, то Асильно разложима; вместо условия дополняемости Л можно потребовать, чтобы пространство максимальных идеалов Аудовлетворяло первой аксиоме счетности в каждой точке.

Полностью исследован также случай, когда фактор-алгебра по радикалу есть алгебра непрерывных функций на вполне несвязном компакте: необходимое и достаточное условие сильной разложимости состоит в равномерной ограниченности идемпотентов исходной алгебры.

Пусть V- некоторая ограниченная область в С ⁿ и А- замкнутая подалгебра алгебры состоящая из функций, голоморфных на V. Известно, что в достаточно общих предположениях относительно Vлюбой максимальный идеал алгебры А, отвечающий точке конечно порожден, а именно, порождается функциями Это утверждение допускает следующее локальное обращение. Пусть А- полупростая К. б. а. с пространством максимальных идеалов X. Если максимальный идеал, соответствующий нек-рой точке порожден конечным набором элементов то максимальные идеалы, соответствующие точкам из нек-рой окрестности точки х ₀, порождаются элементами вида f_i-l_ie, отображение взаимно однозначно в нек-рой окрестности точки х ₀, функция goy^-1 для любого голоморфна в нек-рой фиксированной окрестности начала координат в С" и, кроме того, Xвблизи х ₀ допускает введение нек-рой естественной аналитической структуры.

Множество Sэлементов алгебры Аназ. системой образующих, если наименьшей замкнутой подалгеброй с единицей в А, содержащей множество S, служит сама алгебра А. Единица обычно не включается в число образующих. Если существует конечная система Sс указанными свойствами, то Аназ. алгеброй с конечным числом образующих. Числом образующих алгебры Аназывают в этом случае наименьшее возможное число элементов в системе образующих.

Если f₁, ..., f_n- система образующих нек-рой алгебры, то отображение осуществляет гомеоморфизм пространства максимальных идеалов этой алгебры на нек-рый полиномиально выпуклый компакт в С ⁿ. Всякий полиномиально выпуклый компакт в С ⁿ служит пространством максимальных идеалов нек-рой банаховой алгебры (напр., алгебры равномерных на этом компакте пределов полиномов).

Пространство максимальных идеалов алгебры с побразующими удовлетворяет условию и обладает рядом других свойств; напр., Н ⁱ(X, С) = 0 при Отсюда, в частности, следует, что число образующих в алгебре C(Sⁿ), где Sⁿ есть n-мерная сфера, равно n+1; аналогичный результат имеет место для любого и-мерного компактного многообразия X. Для любого конечного клеточного n-мерного полиэдра X алгебра С(X)допускает систему из n+1 образующей.

Наименьшее замкнутое множество где X- пространство максимальных идеалов ал'гебры А, на тс-ром все функции достигают максимума, наз. границей Шилова пространства X. Для любой К. б. а. с единицей такое множество существует и единственно.

Точка тогда и только тогда принадлежит Г, когда для любой ее окрестности Uсуществует такой элемент для к-рого но вне U.

Более того, если U- открытое множество в Xи существует такое замкнутое множество и такой элемент что для точек то пересечение непусто. В частности, если Х= [0, 1], то Т=Х.

Любой мультипликативный линейный функционал j непрерывен относительно нормы, определяемой спектральным радиусом; более того,где X- пространство максимальных идеалов. В этом неравенстве можно, по определению границы Шилова, заменить X на Г; поэтому существует положительная регулярная мера m на Г, "представляющая" функционал ф, т. е. такая, что для любого имеет место равенство Для случая алгебры аналитич. функций в круге эта формула сводится к классической формуле Пуассона. Среди представляющих мер существует мера m, удовлетворяющая неравенству Иенсена

для всех

Пусть Весть К. б. а. с единицей и А - некоторая ее замкнутая подалгебра. Алгебра Аназ. максимальной подалгеброй алгебры В, если Вне содержит никакой замкнутой собственной подалгебры, содержащей Аи не совпадающей с А. Во всякой достаточно широкой алгебре Вимеются максимальные подалгебры с единицей и даже замкнутые подалгебры коразмерности 1. Действительно, если j₁, j₂- два различных гомоморфизма алгебры Вв поле комплексных чисел и y=j₁-j₂, то ядро функционала y является замкнутой подалгеброй Аалгебры Втакой, что dim В/A = 1. Аналогично, ядро "точечного дифференцирования", т. е. функционала yтакого, что y(fg)=y(f)j(g)+y(g)y(f), где j - мультипликативный функционал, есть подалгебра коразмерности 1. В комплексном случае эти примеры исчерпывают всевозможные подалгебры коразмерности 1. В частности, всякая такая подалгебра алгебры С(X)не разделяет точки компакта X, так как на С(X)нет никаких (даже разрывных) дифференцирований. Близкое описание допускают все подалгебры конечной коразмерности.

Алгебра Атех непрерывных функций на единичной окружности, к-рые допускают аналитич. родолжение внутрь единичного круга, является максимальной подалгеброй алгебры непрерывных функций на окружности; это утверждение может рассматриваться как обобщение теоремы Вейерштрасса, к-рая означает, что замкнутая подалгебра алгебры С(Г), где Г={z:|z| = l}, содержащая Аи функцию z, совпадает с С (Г). Алгебра при i<0} является замкнутой подалгеброй алгебры L¹(R); эта подалгебра максимальна.

Пусть a - иррациональное число, А _a -алгебра, состоящая из всех тех непрерывных функций на двумерном торе, коэффициенты Фурье к-рых с _mn=0 при m+na<0. Эта алгебра является максимальной подалгеброй алгебры всех непрерывных функций тора. Тор служит границей Шилова относительно А _a, и А _a есть алгебра Дирихле. Если тор реализовать в виде остова единичного бицилиндра в С ², то пространство максимальных идеалов идентифицируется с подмножеством бицилиндра, к-рое описывается уравнением |z₁| = |z₂|^a. Точка (0, 0) не принадлежит границе Шилова, но является одноточечной долей Глисона (два мультипликативных функционала j₁ и j₂ на равномерной алгебре принадлежат, по определению, одной и той же доле, если ||j₁ - j₂||<2). Алгебра А _a. аналитична (в смысле свойства единственности: f=0, если f(x) = 0 для точек непустого открытого множества) на пространстве максимальных идеалов, хотя вещественная размерность пространства максимальных идеалов равна 3. Алгебра непрерывных функций на n-мерном торе, допускающих распространение внутрь соответствующего полицилиндра, не является максимальной при n>1, но она максимальна в классе подалгебр, инвариантных относительно голоморфных автоморфизмов тора.

Лит. см. при статье Банахова алгебра.

Е. А. Горин.