КЭЛЕРОВО МНОГООБРАЗИЕ


КЭЛЕРОВО МНОГООБРАЗИЕ

комплексное многообразие, на к-ром можно ввести Кэлера метрику. Иногда такие многообразия на. <з. многообразиями кэлерова типа, а термин "К. м." оставляется для многообразий, снабженных кэлеровой метрикой [1]. Всякое подмногообразие К. м. является К. м. В частности, все проективные комплексные алгебраич. многообразия без особых точек являются К. м., причем кэлерова метрика на них индуцируется Фубини - Штуди метрикой на комплексном проективном пространстве. Аналогично, всякое подмногообразие в аффинном пространстве (в частности, всякое Штейна многообразие).является кэлеровым. Другие примеры К. м. получаются, если рассматривать факторпространство М/Г К. м. Мпо дискретной группе аналитич. автоморфизмов Г, сохраняющих кэлерову метрику. В частности, любой комплексный тор есть К. м. Всякое одномерное комплексное многообразие кэлерово.

Теория гармония, форм на компактном К. м. дает следующие свойства групп когомологий де Рама и Дольбо на таком многообразии М(см. [1], [2], а также [5], где эти свойства были впервые доказаны для проективных алгебраич. многообразий):

Голоморфные формы на компактном К. м. замкнуты. В частности,

где А 1- пространство всех голоморфных 1-форм на М. В случае число есть род компактной римановой поверхности М. На указанных выше свойствах основано построение примеров некэлеровых компактных многообразий, простейшим из к-рых является поверхность Хопфа, диффеомор-фная

К. м. Мназ. многообразием Ходжа, если кэлерова метрика на Мявляется метрикой Ходжа. Всякое проективное алгебраич. многообразие без особых точек является многообразием Ходжа относительно метрики, индуцированной метрикой Фубини - Штуди. Обратно, всякое компактное комплексное многообразие М, снабженное кзлеровой метрикой Ходжа h, допускает биголоморфное вложение в комплексное проективное пространство, причем метрика на М, индуцированная метрикой Фубини - Штуди, имеет вид kh, где k - натуральное число [1], [3] (теорема Кодаиры о проективном вложении). Таким образом, компактное комплексное многообразие Мизоморфно проективному алгебраич. многообразию тогда и только тогда, когда М - многообразие Ходжа Другая форма этого критерия состоит в том что компактное комплексное многообразие Мявляется проективным алгебраич. многообразием тогда и только тогда, когда на Мсуществует отрицательное расслоение на комплексные прямые. Теорема Кодаиры допускает сообщение на комплексные пространства (см. [4], [6]). Компактные К. м., не являющиеся многообразиями Ходжа, можно найти среди двумерных комплексных торов. Напр., этим свойством обладает тор где Г - решетка, натянутая на векторы (1,0), (0,1), (см. [1], [3]). Другое необходимое и достаточное условие проективности re-мерного компактного кэлерова многообразия Мсостоит в наличии на М п алгебраически независимых мероморфных функций.

Всякое некомпактное полное К. м., имеющее положительную секционную кривизну, является многообразием Штейна. Тем же свойством обладает любое одно-связное полное К. м. неположительной секционной кривизны [7].

Лит.:[1] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [2] В е й л ь А., Введение в теорию кэлеровых многообразий, пер. с франц., М., 1961; [3] Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [4] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [5] Hodge W. V. D., The theory and applications of harmonic integrals, 2 ed., Camb., 1952; 16] Грауэрт Г., в кн.: Комплексные пространства. Сб. пер., М., 1965, с. 45-104; [7] G r е е n е R. Е., W u H., в сб.: Value-Distribution Theory. Part A, N. Y., 1974, p. 145-67. А. Л. Онищик.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "КЭЛЕРОВО МНОГООБРАЗИЕ" в других словарях:

  • Кэлерово многообразие — Кэлерова метрика, эрмитова метрика на комплексном многообразии, фундаментальная форма ω которой замкнута. Эрмитова метрика h на комплексном многообразии является кэлеровой тогда и только тогда, когда параллельный перенос вдоль любой кривой… …   Википедия

  • ОДНОРОДНОЕ КОМПЛЕКСНОЕ МНОГООБРАЗИЕ — комплексное многообразие М, группа автоморфизмов к рого транзитивно действует на М. Все односвязные одномерные комплексные многообразия сфера Римана, комплексная плоскость и верхняя комплексная полуплоскость однородны. Многообразие G/H смежных… …   Математическая энциклопедия

  • ХОДЖА МНОГООБРАЗИЕ — комплексное многообразие, на к ром можно задать метрику Ходжа, т. е. Кэлера метрику, фундаментальная форма к рой определяет целочисленный класс когомологий. Компактное комплексное многообразие является X. м. тогда и только тогда, когда оно… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — один из основных объектов изучения алгебраич. геометрии. Современное определение А. м. над полем kкак приведенной схемы конечного типа над полем kпретерпело длительную эволюцию. Классич. определение А. м. ограничивалось аффинными и проективными… …   Математическая энциклопедия

  • ТОРЕЛЛИ ТЕОРЕМА — обобщения теорема, утверждающая, что структура Ходжа (матрица периодов) в когомологиях алгебраического или кэлерова многообразия Х полностью характеризует поляризованное многообразие X. Классич. Т. т. относится к случаю кривых (см. [1], [2]) и… …   Математическая энциклопедия

  • ЛЕФШЕЦА ТЕОРЕМА — 1) Л. т. о неподвижных точках, Лефшеца Хопфа теорема, теорема, позволяющая выразить число неподвижных точек непрерывного отображения через его Лефшеца число. Так, если непрерывное отображение f: конечного клеточного пространства Xне имеет… …   Математическая энциклопедия

  • ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФОРМА — внешняя дифференциальная форма на римановом многообразии М, удовлетворяющая уравнению , где Лапласа оператор, соответствующий римановой метрике на М, а оператор, сопряженный к внешнему дифференциалу d. Если имеет компактный носитель, то… …   Математическая энциклопедия

  • ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — лапласиан, дифференциальный оператор определяемый формулой (здесь координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2 го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе,… …   Математическая энциклопедия

  • СИГМА-МОДЕЛИ — ( модели) модели теории поля, в к рых т скалярных полей (i=1, ..., т )могут рассматриваться как задающие отображение d мерного пространства времени (произвольной сигнатуры) в нек рое многообразие М размерности тс метрикой …   Физическая энциклопедия

  • СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА — замкнутая невырожденная дифференциальнаяформа степени 2. Многообразие, снабжённое С. с., наз. симплектическиммногообразием. В каждом касательном пространстве С. с. задаёт кососкалярноепроизведение (см. в ст. Симплектическая группа). Кососкалярное …   Физическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.