- ГЁЛЬДЕРА НЕРАВЕНСТВО
- 1) Г. н. для сумм. Пусть
- нек-рые множества комплексных чисел,
, где S - конечное или бесконечное множество индексов. Справедливо Г. н.
где
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда
, а
и Сне зависят от
. При
Г. н. для сумм наз. Коши неравенством. В предельном случае при
,
Г. н. имеет вид
При
знак Г. н. меняется на обратный. Г. н. для сумм допускает обращение (М. Рисе, М. Riesz): если
при всех
таких, что то
Для сумм более общего вида Г. н. имеет вид
если
2) Г. н. для интегралов. Пусть S - измеримое по Лебегу множество n-мерного евклидова пространства
и функции
принадлежат
, причем выполнено условие (2). Тогда справедливо Г. н.
При
это есть Буняковского неравенство. Для интегрального Г. н. справедливы замечания (о предельном случае и о знаках), аналогичные замечаниям для Г. н. (1).
В Г. н. множество S может быть любым множеством, на некоторой алгебре подмножеств которого задана конечно аддитивная функция
(например, мера), а функции
-измеримы и
-интегрируемы в степени
.
3) Обобщенное Г. н. Пусть S - произвольное множество и пусть на совокупности всех положительных числовых функций
:
задан (конечный или бесконечный) функционал
удовлетворяющий условиям: а)
б)
для всех чисел
в) при
выполняется неравенство
г)
Если при этом выполняются условия (2), то справедливо обобщенное Г. н. для функционала:
Лит.:[1] Ноldеr О., "Nachr. Gcs. Wiss. Gottingen", 1889, № 2, p. 38-47; [2] Xapди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полна Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948: [3] Беккенбах Э., Беллман Р., Неравенства, пер. с англ., М., 1965. Л. П. Купцов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.