ПЛАСТИЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

теория деформируемого пластичного твердого тела, в к-рой исследуются задачи, состоящие в определении полей вектора перемещений и( х, t).или вектора скоростей v(x,t), тензора деформации e_ij( х, t).или скоростей деформации v_ij(x, t).и тензора напряжений s_ij(x,t), к-рые возникают в теле, занимающем область W. с границей S, под действием массовых К( х, t).и поверхностных F(x, t).сил при заданных начальных и граничных условиях, а также в определении тех нагрузок и процессов, при к-рых равновесие (движение) тела является неустойчивым. Особенности П. м. т. состоят в том, что

а) соотношения s_ij~e_ij нелинейны и необратимы и описываются, вообще говоря, функционалами; следовательно, задачи П. м. т. существенно нелинейны;

б) конфигурации искомых квазистатич. полей определяются процессом изменения заданных функций на промежутке [0, t], а не их мгновенными значениями в момент t;

в) в процессе изменения функций К, F возникают области упругой деформации, активной пластич. деформации (нагрузки) и пассивной деформации (разгрузки), в к-рых соотношения s_ij~e_ij различны; эти области должны быть определены при решении задачи;

г) уравнения краевой задачи могут, вообще говоря, оказаться разных типов (эллиптического или гиперболического) в разных областях тела.

При произвольном сложном процессе известны лить весьма общие свойства функционалов пластичности, их явная аналитич. структура не установлена. Конкретные соотношения s_ij~e_ij, не содержащие явно функционалов, построены и экспериментально обоснованы для ряда типичных процессов деформации. Иногда рассматриваются также нек-рые искусственные "модели" соотношений s_ij~e_ij, к-рые лишь частично отражают упругопластич. свойства материалов. Статические краевые задачи. В теории упругопластич. процессов (см. [1]) согласно постулату изотропии А. А. Ильюшина соотношения s_ij~e_ij можно представить в виде

(1)

(суммирование по kот 1 до 6), где - базис, построенный на основе тензора малой деформации, A_k- функционалы от инвариантов тензора деформации, давления р, температуры Ти, возможно, других инвариантных величин немеханич. природы. Искомые функции и _i( х, t),e_ij(x, t),s_ij(x, t).при равновесии удовлетворяют уравнениям

при заданных функциях и областях . Здесь l_j - направляющие косинусы внешней нормали к граничной поверхности S; t- параметр процесса (напр., истинное или условное время); р - плотность материала; (2) - дифференциальные уравнения равновесия, (3) - кинематич. соотношения между малыми деформациями и перемещениями, (5) и (6) - граничные условия в напряжениях и перемещениях соответственно. Равенства (2) - (6), строго говоря, не реализуют постановку краевой задачи, поскольку при неизвестной структуре функционалов пластичности нельзя решить вопрос о существовании решения.

С учетом этой неопределенности для решения задачи (2) - (6), допуская ого существование при произвольном сложном нагружении (СН), предложен и в частных задачах реализован следующий метод СН-ЭВМ. Ниже система равенств (2), (3), (5), (6) будет наз. неполной системой (В). В связи с использованием ко-нечноразностной процедуры область Wразбивается на Nячеек (элементов), в каждой из к-рых искомые функции имеют постоянные (средние) значения, зависящие от параметра t(интересующий интервал времени [0, t]разбивается на Мшагов), и в v-й ячейке заменяются соотношения (4) аппроксимирующими соотношениями вида

(7)

где - функции t, такими, что решение задачи (В), (7) существует. Пусть в первом приближении с конкретно заданными . (по возможности - наиболее простым способом, напр. в соответствии с обобщенным законом Гука) функциями C_vk

(7₁)

решение задачи (В), (7) есть Определяемый по нему набор инвариантов вместе с и рассматривается как совокупность программ испытаний Nобразцов в однородном напряженном состоянии. Проведение их на испытательном комбайне класса СН дает истинные зависимости s_ij~e_ij в процессах , что

определяет уточненные аппроксимирующие соотношения

(7₂)

к-рые используются для численного решения задачи (В), (7₂) во втором приближении. Аналогично строятся последующие приближения. Сходимость оценивается по нормам разностей двух последующих приближений.

В отличие от применяемых вариантов теоретико-экспериментальных методов решения краевых задач с известными соотношениями (4), здесь используется испытание стандартных образцов в одномерном напряженном состоянии по стандартной методике, а не натурного объекта или его модели в сложном напряженном состоянии.

Предложен апостериорный критерий существования (см. [2]): если указанный процесс итераций сходится, то решение задачи (2) - (6) (с неизвестной структурой функционалов A_k).существует и с заданной степенью точности определяется в n-м приближении.

Если соотношения (4) известны, но сложны, то этот метод также применим с использованием (4) вместо испытательного комбайна СН.

Сложности постановки и решения краевой задачи теории пластичности в общем случае существенно уменьшаются при рассмотрении конкретных классов процессов.

Степень сложности процесса деформации в точке тела определяется сопоставлением кривизн траектории деформации, к-рая в 5-мерном евклидовом пространстве изображает процесс изменения девиатора деформации , с типичной для каждого материала величиной следа запаздывания h, определяемой экспериментально. На этой основе выделяются частные классы процессов, для к-рых соотношения (4) конкретизируются и не содержат явно функционалов. Для каждого такого класса процессов постановка краевой задачи (2) - (6) становится определенной, допускающей доказательство теорем существования и единственности и построение общих методов решения. При этом, однако, возникает проблема физич. достоверности решения, поскольку при заданных функциях K_i(x, t), F_i(x, t),j_i(x, t).процессы, определяемые решением, могут не соответствовать области достоверности частного вида соотношения (4), принятого при постановке задачи. Эту проблему можно поставить как задачу об определении класса заданных функций K_i, F_i, j_i и, может быть, ограничений на соотношения (4) частного вида, при к-рых система уравнений (2) - (6), дополненная соотношениями, определяющими соответствующий класс процессов, совместна.

В теории малых упругопластич. деформаций (см. [3]), относящейся к процессам простой деформации (нулевой кривизны), соотношения (4) имеют вид

(8)

где - интенсивность деформации, Ф - экспериментально определяемая функция упрочнения, К - константа (модуль объемной упругости), При ограничениях

(9)

(l<1 - число), приемлемых для конструкционных материалов, установлена эллиптич. природа краевой задачи (В), (8), доказаны теоремы существования и единственности решения, установлены минимальные принципы и даны соответствующие вариационные постановки задач. Доказана теорема о простом на-гружении, определяющая класс функций K_i, F_i, j_i

(однопараметрич. нагрузки), при к-ром решение задачи физически достоверно. Для решении краевой задачи (В), (8) в принципе применимы методы Ритца и Бубнова - Галеркина, к-рые, вследствие нелинейности задачи, малоэффективны. Широко используется метод упругих решений, сходящийся при условиях (9): в каждом последовательном приближении решается более простая краевая задача линейной теории упругости (см. [3]). При этом в ходе решения определяются области упругих деформаций, в к-рых имеет место обобщенный закон Гука. Применяется также метод переменных параметров упругости (см. [4]).

Постановка задачи (В), (8) и указанные методы решения применяются также к задачам термопластичности. При этом при температурном поле Т( х, t), определяемом решением задачи теплопроводности, в соотношениях (8) полагается и член заменяется выражением . Ввиду функциональной природы соотношений s_ij~e_ij использование функции Ф (e_u, T) ограничено нек-рым классом тепловых процессов. Специальный интерес представляют задачи о циклич. нагружении тела (см. [5]), сопровождающемся периодич. возникновением областей разгрузки и нагрузки обратного знака.

В теории упругопластич. процессов малой кривизны (наибольшая кривизна значительно меньше h^-1).с соотношениями

(10) где

- длина дуги траектории деформации, и с кинематич. уравнениями

(11)

где v_i(x, t) - координаты вектора скорости частицы среды, ставится краевая задача (2), (10), (11), (5), (6), для к-рой доказаны теоремы существования и единственности, сформулированы вариационные принципы и предложен метод последовательных приближений. Условия физич. достоверности решения не выяснены. Эта задача формулируется, в частности, применительно к расчету установившегося пластич. течения упрочняющегося металла в технологич. процессах обработки давлением (прессование, прокатка и т. п.).

Аналогично ставится краевая задача для упругопластич. процессов средней кривизны (главная кривизна траектории деформации меньше или порядка h^-1).

Для теории двухзвенных процессов (траектория деформации - ломаная с углом излома в при s=s₀), типичных для двухпараметрич. нагружении тела, с соотношениями (8) при и соотношениями

(12)

при s>s₀, где s_u, J - известные функции от s₀, q, s, дана постановка краевой задачи (В), (12) при s>s₀ и (В), (8) при с доказательством теорем существования и единственности. Доказана локальная теорема физич. достоверности, определяющая достаточные условия, налагаемые на функции , при к-рых почти всюду в области W происходят изломы траекторий деформации. Свойства решений и материальных функций в окрестности точки излома существенны для решения задач об устойчивости равновесия при упругопластич. деформациях.

В современной теории течения для пластич. части тензора деформации из постулатов пластичности энергетич. типа выводятся соотношения вида

(13)

а для упругой части принимается обобщенный закон Гуна

где l, m, - постоянные Ламе, причем функция нагру-жения f является функционалом процесса нагружения s_ij(t), а функция упрочнения H, кроме того, зависит от приращений Ds_ij. Чаще всего предполагается, что Нне зависит от Ds_ij. При этом линеаризованные по приращениям соотношения (13) позволяют строго формулировать краевую задачу типа (В), (13) с доказательством ряда общих теорем и минимальных принципов (см. [6]); разработаны процедуры численно-аналитич. решения. Преимущество простоты, даваемое линеаризацией соотношений (13), серьезно ослабляется ограниченностью области, в к-рой линеаризованные соотношения физически достоверны.

В П. м. т. часто используется постановка краевой задачи на основе теории пластичности Прандтля - Рейса, к-рая описывается соотношениями

где G, К - константы упругости, R - функция от . Область достоверности этих соотношений ограничена (точно не определена).

Развита теория идеально пластич. тел (см. [7], [8]), основанная на физич. соотношениях Сен-Венана - Леви - Мизеса. Эти соотношения формально получаются из соотношений малой кривизны (10), если в них положить Ф(s).s_s=const (s_s- предел текучести материала) и принять условие несжимаемости:

(14)

Понятие идеальной пластичности подразумевает, кроме того, соблюдение в области активных пластич. деформаций условия текучести вида

(15)

напр, условия Генки - Мизеса , , или условия Треска - Сен-Венана t_max=t_s, где t_max- наибольшее касательное напряжение, s_s,t_s - константы материала.

Краевая задача вида (В), (14), (15) с заменой (3) на (11) обычно гиперболического (иногда эллиптического) типа. Полная задача теории идеальной пластичности состоит в решении уравнений (2), (11), (14), (15) в части области W₁, в к-рой имеют место пластич. деформации, и уравнений (2), (3) с соотношениями обобщенного закона Гука в области упругих деформаций W₂ с соответствующими граничными условиями и кинематич. и динамич. условиями сопряжения решений на неизвестной границе областей W₁ и W₂ (упругопластич. задача).

Часто практически полезные результаты дает жестко-пластич. анализ, в к-ром упругие деформации игнорируются и части тела вне области пластичности считаются недеформируемыми. При этом, как правило, возникают стационарные поверхности разрыва скоростей частиц, что несовместимо с классич. положениями механики сплошной среды. В нек-рых задачах при задании граничных условий в напряжениях уравнения равновесия вместе с условиями типа (15) можно рассматривать как автономную систему гиперболич. типа. При атом возникает возможность неоднозначного определения области пластич. деформаций и напряжений в этой области, к-рую часто разрешают на основе нек-рых эвристич. соображений. Многозначность не возникает при решении упругопластич. задачи.

Среди задач, решаемых методами теории идеальной пластичности, специального упоминания заслуживают задачи об установившемся пластич. течении неупрочняющегося металла в "каналах" с определением скоростей и напряжений, включая контактные, применительно к технологич. задачам обработки давлением (ковка, штамповка, прессование).

Для ряда инженерных приложений особый интерес представляет теория пластич. течения тонких слоев металла, основанная на ряде рациональных гипотез кинематич. и физич. характера. При этом определяются условия, необходимые для поддержания пластич. течения (напр., мощность пресса), и распределение скоростей, позволяющее предвидеть форму изделия.

Прикладные задачи П. м. т. (напр., о равновесии оболочек) приводят к краевым задачам с нелинейными дифференциальными уравнениями с частными производными высокого порядка (напр., четвертого).

Для задач об устойчивости равновесия при пластич. деформациях характерно бифуркационное изменение типа процесса деформации в момент потери устойчивости с образованием точек излома на траекториях деформации. Напр., при простом нагружении тела в момент потери устойчивости возникает сложное нагружение, и для решения задачи об устойчивости необходимо привлекать соотношения, описывающие бесконечно малый процесс после точки излома траектории ( см.[1]).

Динамические задачи теорий пластичности. Общая постановка динамич. задачи получается, если (2) заменить уравнением движения

и к (2) - (6) добавить начальные условия, напр, вида

При этом возникают трудности двоякого характера:

1) вследствие возникновения разных типов волн с различными скоростями распространения, зависящими от величин деформаций, процессы деформации в разных точках тела (и в каждой точке в разные промежутки времени) имеют разную степень сложности даже при простейших типах прилагаемых нагрузок, и априори нельзя установить возможность использования соотношений s_ij~e_ij частного вида;

2) необходимо использовать динамич. соотношения s_ij~e_ij с учетом зависимости от развития процесса деформации во времени.

Динамич. функционал пластичности изучен не полностью даже для одномерного процесса, т. е. при простой деформации. Информация о динамич. характеристиках материалов в сложном напряженном состоянии при сложных процессах деформации чрезвычайно скудна и не позволяет судить хотя бы о качественных свойствах динамич. функционалов пластичности. В связи с этим динамич. задачи теории пластичности ставятся с использованием статич. соотношений теории пластичности, что позволяет отрабатывать методы решения, выяснять специфические для динамики ме-ханич. эффекты и получать решения, полезные для практики в качестве оценок. Такой подход в качестве этапа исследования оправдывается чрезвычайной важностью изучения динамич. процессов в конструкциях, сооружениях и массивах.

Анализ распространения активных нелинейных деформаций в сложном напряженном состоянии обнаруживает возникновение комбинированных разрывов разных типов, характерных только для нелинейных задач. Насколько можно судить по имеющимся результатам, наиболее сложные процессы протекают в областях, примыкающих к поверхностям разрыва, тогда как в основной области движения сложность процесса по кривизнам траекторий и по времени ограничена. Поэтому представляется возможным решать динамич. задачи теории пластичности для сложных случаев путем комбинированного использования соотношений частного вида (напр., для процессов средней кривизны) в основной области и соотношений для окрестности точки излома (или для двухзвенных процессов) в областях, примыкающих к поверхностям разрыва. Нетривиальной и специфической для динамич. задач теории пластичности является задача о нахождении поверхности разгрузки, разделяющей области активных и пассивных деформаций.

Наиболее детально изучены задачи о распространении одномерных упругопластич. волн (см. [9]). Исследована задача о распространении волны разгрузки в стержне при растяжении-сжатии (см., напр., [9]). В дальнейшем распространение и взаимодействие упругопластич. продольных волн в стержне исследовано с учетом различных типов зависимости механич. нагрузок от скорости деформации. В свою очередь, полученные решения используются в качестве теории эксперимента (базисного или контрольного) для изучения динамич. свойств материалов (см. [10]).

Математические задачи теории уравнений состояния. Явление пластичности настолько сложно, что построить уравнения состояния (соотношения s_ij~e_ij) путем прямого обобщения опытных данных не удается. В связи с этим доминирует тенденция к созданию общей теории, к-рая, в частности, определит и теорию эксперимента. На этом пути ведется математич. исследование допустимых форм уравнений состояний, не противоречащих законам механики и термодинамики, изучение свойств кривых и поверхностей в n-мерном пространстве в связи с исследованием процессов и предельных конфигураций, формулирование определяющих принципов, относящихся к нек-рым классам (так или иначе идеализированных) материалов, указывающих выбор независимых параметров состояния и уточняющих (в достаточно общем виде) структуру соотношений s_ij~e_ij, аналитич. исследование свойств функционалов пластичности, выяснение классов процессов, допускающих более простое математич. описание в рамках общих соотношений (см. [1], [11]). Большое значение для теории и экспериментального исследования имеет развитие теории представления функционалов. Результаты этой теории позволяют, в частности, устанавливать физич. достоверность уравнения состояния сложной функциональной структуры по анализу явлений, сравнительно легко воспроизводимых в натуре.

Лит.:[1] Ильюшин А. А., Пластичность. Основы общей математической теории, М., 1963; [2] Ильюшин А. А., Ленский B.C., Модель и алгоритм, "Прикладные проблемы прочности и пластичности", 1975, № 1 (Горький); [В] Ильюшин А. А., Пластичность, ч. 1- Упруго-пластические деформации, М.- Л., 1948; [4] Биргер. И. А., "Прикл. матем. и механ,", 1951, т. 15, № 6, с. 765-70; [5] Москвитин В. В., Пластичность при переменных нагрушениях, М., 1965; [6] Койтер В. Т., Общие теоремы теории упруго-пластических сред, пер. с англ., М., 1901; [7] Соколовский В. В., Теория пластичности, 3 изд., М., 1969; [8] Xилл Р., Математическая теория пластичности, пер. с англ., М., 1956; [9] Рахматулин X. А.. Демьянов К). А., Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках, М., 1961; [10] Васин Р. А., Ленский В. С., Ленский Э. В., Динамические зависимости между напряжениями и деформациями, в кн.: Проблемы динамики упруго-пластических сред, М., 1975; [11] Трусделл К., Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред, пер. с англ., М., 1975. В. С. Ленский.