- ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
- вероятности перехода Маркова цепи
. на отрезке времени [s, t]из состояния iв состояние j:
Ввиду основного свойства цепи Маркова для любых состояний
(где S - множество всех состояний цепи) и любых s<t<u
Обычно рассматриваются однородные цепи Маркова, для к-рых П. в. pij(s, t).зависят от длины отрезка [s, t], но не от его положения на оси времени:
Для любых состояний i, j однородной цепи Маркова с дискретным временем последовательность pij(n).сходится по Чезаро, т. е. существует
При нек-рых дополнительных условиях (а также для цепей с непрерывным временем) пределы существуют и в обычном смысле. См. Маркова цепь эргодическая, Маркова цепи положительный класс состояний.
П. в. pij(t).цепи Маркова с дискретным временем определяются значениями
для любых
В случае цепей Маркова с непрерывным временем обычно предполагается, что П. в. удовлетворяют дополнительным условиям: все pij(t).измеримы как функции
,
При этих предположениях существуют плотности вероятностей перехода
(1)
если все
конечны и 
то П. в. pij(t)
удовлетворяют системам дифференциальных уравнений Колмогорова - Чепмена
(2)
с начальными условиями
(см. также Колмогорова уравнение, Колмогорова - Чепмена уравнение).
При задании цепи Маркова плотностями перехода (1) ее П. в. pij(t).удовлетворяют условиям
цепи, для к-рых
при нек-рых 
и t>0, наз. нерегулярными (тогда имеет место неединственность решения систем (2)); если 
=1 для всех 
и t>0, то цепь наз. регулярной. Пример. Цепь Маркова x(t). с множеством состояний {0, 1, . . .} и плотностями перехода
(т. н, процесс чистого размножения) нерегулярна тогда и только тогда, когда
Пусть
тогда
и при
имеет место 
, т. е. траектория цепи x (t)."с вероятностью 1 за конечное время уходит в бесконечность" (см. также Ветвящихся процессов регулярность).
Лит.:[1]Чжун Кай-лай, Однородные цепи Маркова, пер. с англ., М., 1964. А. М. Зубков.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
