НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

функции x(t)функциями u(t)из фиксированного множества F- величина где - погрешность приближения (см. Прибли жения функций мера). Можно говорить о Н. п. в произвольном метрич. пространстве X, когда определяется расстоянием между элементами хи и, в этом случае Е( х, F).- расстояние от элемента хдо множества F. Если X- линейное нормированное пространство, то при фиксированном Н. п.

можно рассматривать как заданный на Xфункционал (функционал наилучшего приближения).

Функционал Н. п. непрерывен, каково бы ни было множество F. Если F- подпространство, то функционал Н. п. является полунормой, т. е.

и

для любого В случае, когда F- конечномерное подпространство, в Fдля любого существует элемент (элемент наилучшего приближения), на к-ром в (1) реализуется нижняя грань:

В пространстве Xсо строго выпуклой нормой элемент Н. п. единствен.

С помощью теорем двойственности Н. п. в линейном нормированном пространстве Xможет быть выражено через верхнюю грань значений нек-рых функционалов из сопряженного пространства (см., напр., [5], [8]). Если F- замкнутое выпуклое множество в X, то для любого

в частности, когда F- подпространство, то

где - множество функционалов из таких, что f(u)=0 для любого . В функциональных пространствах Си L _р правые части (2) и (3) конкретизируются с учетом формы линейного функционала. В гильбертовом пространстве НН. п. элемента n -мерным подпространством реализуется оператором ортогонального проектирования на и может быть вычислено:

где - базис - определитель Грама, составленный из скалярных произведений Если базис ортонормирован, то

В пространстве С=С[ а, b]для величины наилучшего равномерного приближения функции , n-мерным чебышевским подпространством справедлива оценка (теорема Балле Пуссена): если для нек-рой функции существует n+1 точек , в к-рых разность принимает значения с последовательно чередующимися знаками, то

О Н. п. в пространстве L₁(a, b )см. Маркова критерий. В ряде важных случаев Н. п. функций конечномерным подпространством можно оценить сверху через дифференциально-разностные характеристики (напр., модуль непрерывности) приближаемой функции или ее производных.

Понятие наилучшего равномерного приближения непрерывных функций многочленами ввел П. Л. Чебышев (1854), к-рый разработал теоретич. основы Н. п. и установил критерий многочлена Н. п. в метрике пространства С(см. Наилучшего приближения многочлен).

Наилучшее приближение класса функций - верхняя грань Н. п. функций f(t)из заданного класса фиксированным множеством функций F, т. е. величина

Величина характеризует максимальное отклонение (относительно выбранной метрики) класса от приближающего множества Fи показывает, на какую минимально возможную погрешность можно рассчитывать, приближая произвольную функцию функциями из F.

Пусть принадлежит функциональному линейному нормированному пространству - линейно независимая система функций из - подпространства, порожденные первыми п элементами этой системы. Исследование числовой последовательности позволяет судить как о структурных и гладкостных характеристиках функций класса , так и об аппроксимативных свойствах системы Uотносительно класса . Если X- банахово пространство функций и система Uзамкнута в X, т. е.при тогда и только тогда, когда является компактным в X множеством.

В ряде важных случаев, напр, когда F_n - подпространства тригонометрич. полиномов или периодич. сплайнов, а класс задается ограничениями на норму или модуль непрерывности нек-рой производной , величины точно вычислены [5]. В непериодич. случае имеются результаты, дающие точную асимптотику

Лит.:El] Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2, М.- Л., 1947; [2] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [3] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [4] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [5] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [6] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [7] Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960; [8] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [9] Лоран П. Ж., Аппроксимация и оптимизация, пер. с франц., М., 1975.

H. П. Корнейчук, В. П. Моторный.