ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

экстремальные задачи на классах функций - задачи, связанные с отысканием верхней грани погрешности приближения на фиксированном классе функций и с выбором для него наилучшего в том или ином смысле аппарата приближения. Начало исследованиям по экстремальным задачам П. ф. положили работы А. Н. Колмогорова (см. [1] - [2]), Ж. Фавара (см. [3] - [4]) и С. М. Никольского (см. [5]-[6]). Широкое развитие эти исследования получили начиная с 50-х гг. 20 в.; они стимулировались потребностями вычислительной математики, все больше сталкивавшейся с задачами оптимизационного содержания.

Если в нормированном функциональном пространстве Xрассматривается П. ф. из класса функциями фиксированного множества , то интерес представляют задачи отыскания величин

(1)

где

- наилучшее приближение функции f(t)множеством , а также

(2)

где U - нек-рый конкретный метод приближения, задаваемый тем или иным оператором, действующим из X в. Сгеометрич. точки зрения верхняя грань (1) характеризует величину уклонения множества от в метрике X. Практич. смысл величины можно видеть в том, что она, во-первых, дает минимально возможную оценку сверху для наилучшего приближения множеством функции, о к-рой известно только, что она принадлежит классу , а во-вторых, является определенным ориентиром при оценке и сравнении аппроксимативных возможностей конкретных методов приближения на классе . Что касается величины (2), то наиболее важным является случай, когда есть N-мерное подпространство, U - линейный метод приближения. Известен целый ряд точных и асимптотически точных результатов по приближению классов функций конкретными линейными .методами (в частности, полиномами и сплайнами) (см. [1]-[12], [19]), но особый интерес вызывают методы, реализующие точную нижнюю грань

(3)

распространенную на все линейные ограниченные операторы Uиз Xв , т. е. линейные методы, наилучшие для класса . Ясно, что всегда

и, естественно, возникает вопрос о возможности здесь знака равенства. Помимо тривиального случая, когда X - гильбертово пространство функций и наилучшее приближение каждой функции доставляют суммы Фурье по ортонормированному базису , известны ситуации в негильбертовом пространстве, когда линейный метод реализует наилучшее приближение на всем классе

Так, если X - пространство 2p-периодических функций - подпространство тригонометрич. полиномов порядка n-1(dim=2n-1), - класс функций , у к-рых f^(r-1)(t).абсолютно непрерывна на [0,2p] и , то

где К _r- константы Фавара, причем наилучшее приближение на классах и реализует линейный метод , построенный на базе сумм Фурье (см. Приближение функций;линейные методы приближения, формула (3)) при определенном выборе множителей . Построены линейные операторы со значениями в , реализующие верхнюю грань наилучших приближений на классах сверток, включающих, в частности, классы и с дробными r>0, а также классы сопряженных функций (см. [10], [11]).

Для приближения подпространством 2p-периодических сплайнов порядка тдефекта 1 с узлами склей ки kp/n(dim =2n).справедливы равенства

наилучшим линейным методом здесь являются сплайны s_r-1(f, t).из , интерполирующие функцию f(t).в точках kp/n, если r четно, и в точках kp/n+p/2n, если rнечетно. Относительно класса эти сплайны обладают исключительными аппроксимативными свойствами, т. к. наилучшим образом приближают функции в любой метрике (см. [7]).

Перечисленные случаи, когда величины (1) и (3) совпадают и удается построить конкретный линейный метод, решающий сразу обе задачи, являются, в известном смысле, идеальными. В других ситуациях эффективным при решении задачи (1) оказывается подход, основанный на использовании общих теорем двойственности, отражающих фундаментальные соотношения геометрии выпуклого анализа (см. [7], [8]). Если, напр., X - произвольное линейное нормированное пространство, X*- ему сопряженное, - выпуклое множество в X, то для любого элемента

(4) в частности, если - подпространство, то

(5)

Соотношения (4) или (5) позволяют в ряде случаев свести вычисление или оценку верхней грани (1) к более обозримой задаче на экстремум явно задаваемого функционала на нек-ром множестве функций, связанных, если - подпространство, условиями ортогональности. Например, используя (5), оценку можно свести с помощью известных

неравенств к вычислению верхней грани норм ||g||_q'(q' =q/(q-1)) на множестве функций

таких, что

Более тонкая ситуация возникает, если задача (1) решается на классах, задаваемых ограничениями не на норму r-й производной f^(r)(t) а на ее модуль непрерывности , в частности когда (r=0,1,...; ) - класс 2p-периодических функций , у к-рых

где w(d) - заданный модуль непрерывности, напр.

. Здесь применение (5) требует использования тонких свойств дифференцируемых периодич. функций тина теорем сравнения и Колмогорова неравенств (для норм производных), но описываемых с помощью аппарата перестановок (равноизмеримых функций). При условии выпуклости вверх w(d) справедливы равенства (см. [7], [13])

где или - функция из периода 2p/п с нулевым средним значением на периоде,

у к-рой четна, равна на [0, p/2n] и равна на . Нормы допускают явное выражение, напр.:

где функции Ф _k(t)задаются на [0, p] рекуррентно:

Решение задач о наилучшем для класса линейном методе из в или в известно в случае

, т. е. когда

Интерполяционные сплайны s_r(f, t).из реализуют верхнюю грань (при любом выпуклом w(d)) лишь в случае r=1.

При решении экстремальных задач на классах функций, заданных на конечном отрезке и не связанных жесткими краевыми условиями, нельзя ждать результатов в столь совершенном, как в периодич. случае, виде: на экстремальных функциях сказывается возмущающее действие концов промежутка, к-рое усугубляется с увеличением порядка дифференцируемости. Здесь известны нек-рые результаты с точной асимптотикой. Если MW^rH^a(r=0,l,. . .; , MW⁰H^a=МН^a).- класс функций , у к-рых

то для наилучшего равномерного на [-1, 1] приближения подпространством алгебраич. многочленов степени п-1 имеют место соотношения

(6)

(7)

к-рые полезно сравнить с соответствующими результатами в периодич. случае; при a=1 правые части (6) и (7) равны соответственно МК ₁ и MK_r+1. Отказавшись от многочленов наилучшего приближения, можно усилить эти результаты, существенно улучшив приближение у концов отрезка [- 1, 1] без потери наилучшей асимптотики на всем промежутке. Напр., для любой существует последовательность алгебраич. многочленов таких, что равномерно по при

Аналогичный факт имеет место для функций классов MW^rH¹(r=1, 2, . . .) (см. [11]). В задачах приближения сплайнами (наилучшими и интерполяционными) классов функций, заданных на отрезке, известны нек-рые точные (гл. обр., для сплайнов малого порядка) и асимптотически точные результаты (см. [15]).

В случае одностороннего приближения (в интегральной метрике) известен ряд точных результатов по оценке погрешности наилучшего приближения полиномами и сплайнами на введенных выше классах функций (см. [19]). При их получении существенно использовались соотношения двойственности для наилучшего приближения при наличии ограничений, задаваемых с помощью конуса.

Отыскание наилучшего аппарата приближения (фиксированной размерности) для данного класса функций приводит к задачам о поперечниках: найти величины (см. (1) и (3))

где нижние грани берутся по всем подпространствам из X (и их сдвигам) размерности N, а также указать экстремальные (наилучшие) подпространства, реализующие эти нижние грани. Оценки сверху для d_N и дают найденные для конкретных подпространств величины и , основная трудность в задаче о поперечнике обычно состоит в получении точных оценок снизу. В ряде ситуаций получить такие оценки удается, привлекая топологич. соображения, в частности теорему Борсука об антиподах (см. [8]). Практически во всех случаях точного решения задачи о наилучшем приближении классов и периодич. функций подпространствами (тригонометрич. полиномов порядка п-1) и (сплайнов нек-рого порядка тдефекта 1 по разбиению kp/n). найденные точные верхние грани Е(, )_X дают и значения поперечников d_N этих классов, причем оказалось, что для периодич. классов d_2n-1=d_2n. В частности (см. [7], [8]) ,

а при выпуклом вверх w(d) и или

Следует отметить, что подпространство является наилучшим для рассматриваемых классов при всех r и никакое подпространство размерности 2п не дает на этих классах лучшее приближение, чем (имеющее размерность 2п-1). Подпространство сплайнов является наилучшим для классов и в при т=r и для класса в при . Линейные поперечники классов в и в совпадают с d_N, они реализуются на подпространствах и наилучшими линейными методами, о к-рых упоминалось выше. Поперечники d_N и класса в при N=2n-1 и N=2n равны и реализуются суммами Фурье по тригонометрич. системе. Для поперечников классов функций, заданных на отрезке, в ряде случаев известна точная асимптотика; поперечники d_N и классов в С[-1, 1] совпадают и реализуются интерполяционными сплайнами порядка r -1 по неравномерному разбиению (см. [8]).

Задачу оценки погрешности приближения на множестве Х ^r r -х интегралов от функций из X(не являющемся локально компактным) можно сделать корректной, если оценивать для при фиксированном g>0 величину

(w(g, d)_X - модуль непрерывности функции gв пространстве X).или (в случае приближения конкретным методом) величину

Отыскание точных верхних граней этих величин на множестве Х ^r равносильно нахождению наименьшей константы в соответствующем Джексона неравенстве;можно затем говорить о минимизации по всем подпространствам размерности N. В ряде случаев эти задачи решены. Напр., в неравенстве

наименьшая константа М _r= К _r/2, причем она не может быть уменьшена, если заменить любым другим подпространством той же размерности (см. [14]). Известны точные константы в неравенстве Джексона для приближения тригонометрич. полиномами в равномерной и интегральной метрике (см. [7]). В непериодич. случае есть результаты с точной асимптотикой.

Среди экстремальных задач, в к-рых приближающее множество, не будучи линейным многообразием, является выпуклым множеством, интерес представляют задачи наилучшего приближения одного класса функций другим классом с лучшими, в том или ином смысле, гладкостными свойствами. Сначала такая задача возникла как промежуточная при получении точной оценки для

(см. [7]); в дальнейшем ее стали рассматривать как самостоятельную, причем в ряде случаев использование соотношения (4) позволило получить точный результат. При

здесь обнаруживается связь с задачами о неравенствах между нормами производных и о наилучшем приближении оператора дифференцирования линейными ограниченными операторами (см. [16]).

Многие экстремальные задачи приближения функций можно интерпретировать как задачи оптимального восстановления (см. [15], [17], [18]). Пусть информация о функции задается вектором T(f,L)=(l₁(f), ... ,l_n(f)}, где l_k - заданные на Xфункционалы (напр., значения функции f(t).или (и) нек-рых ее производных в фиксированных точках). Зная, что f принадлежит классу , требуется по информации T(f,L) восстановить с наименьшей погрешностью функцию f или значение L(f) на ней нек-рого линейного функционала (напр.,

и т. п.). Минимизация может предполагаться не только по методам S, сопоставляющим вектору T(f,L) функцию j(t)f(t). (или функционал l(f)L(f)), но также и по наборам функционалов . В зависимости от выбора меры погрешности и класса методов Sзадача оптимального восстановления функции может быть иногда сведена к отысканию поперечников d_N или , чебышевского центра или других характеристик класса . Оптимальное восстановление интеграла по информации вида {f(t_k)} или {f^(v)(t_k)} приводит к задаче о наилучшей квадратурной формуле для класса . Наилучший аппарат восстановления в ряде случаев доставляют сплайны; так, напр., сплайны s_r-1(f, t).из , интерполирующие в равностоящих точках t_k, восстанавливают функции f из по информации l_k(f)=f(t_k) в каждой точке с минимально возможной на всем классе погрешностью. В пространствах функций двух и большего числа переменных, если не считать тривиального случая приближения в гильбертовом пространстве, точных решений экстремальных задач почти нет (1983). В немногих случаях известны асимптотически точные соотношения для погрешности равномерного приближения классов функций суммами Фурье и нек-рыми их средними (см. [12]).

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Ann. Math.", 1935, v. 36, № 2, с. 521-26; [2] его же, там же, 1936, у. 37, № 1, р. 107-10; [3] Favard J., "С. г. Acad. sci.", 1936, t. 203, p. 1122-24; [4] его же, "Bull. sci. math.", 1937, t. 61, p. 209-24, 243-56; [5] Никольский С. М., "Тр. МИАН СССР", 1945, т. 15, с. 1-76; [6] его же, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1946, т. 10, с. 207-56; [7] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [8] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М. _г 1976; [9] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [10] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [11] Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960; [12] Степанец А. И., Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Линейные методы, К., 1981; [13] Корнейчук Н. П., "Матем. заметки", 1976, т. 20, №5, с. 655-64; [14] его же, "Укр. матем. журн.", 1979, т. 31, № 4, с. 380-88; [15] его же, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1981, т. 45, №2, с. 266-90; [16] Арестов В. В., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1975, т. 138, с. 3-28; [17] Великий В. Л., "Матем. заметки", 1977, т. 22, № 5, с. 663-70; [18] Лигун A. A., "Anal. Math.", 1979, у. 5, М 4, р. 269-86; [19] Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г., Аппроксимация с ограничениями, К., 1982. Н. П. Корнейчук.