ЖОРДАНА РАЗЛОЖЕНИЕ это:

ЖОРДАНА РАЗЛОЖЕНИЕ

- 1) Ж. р. функции ограниченной вариации - представление функции f в виде

где f1 и f2 - монотонно возрастающие функции. Ж. р. наз. также представление обобщенной меры, или зарядаm(Е)измеримого множества Ев виде разности мер

где хотя бы одна из мерm+ или m- конечна. Установлено К. Жорданом.

Лит.:[1] Jordan С, Cours d'analyse, t. 1, P., 1893; [2] Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [3] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974.

М. И. Войцеховский.

2) Ж. р. эндоморфизма gконечномерного векторного пространства - представление этого эндоморфизма в виде суммы полупростого и нильпотентного эндоморфизмов, коммутирующих между собой: g=gs+gn. Эндоморфизмы gs и gn наз. соответственно полупростой и нильпотентной компонентами Ж. р. эндоморфизма g. Такое представление наз. аддитивным Ж. р. (Полупростой эндоморфизм - эндоморфизм, обладающий при нек-ром расширении основного поля базисом из собственных векторов, нильпотентный - равный в некоторой степени нулю.) Если в нек-ром базисе пространства матрица || а ij|| эндоморфизма gявляется жордановой матрицей, а t- такой эндоморфизм, что в том же базисе его матрица имеет вид ||bij||, где bij=0 при всех и bii=±aii для всех i, то будет Ж. р. эндоморфизма gс gs=gn=g- t.

Ж. р. существует и единственно для любого эндоморфизма gвекторного пространства Vнад алгебраически замкнутым полем К. Более того, gs-P(g)и gn=Q(g)для некоторых многочленов Ри Qнад полем К(зависящих от g)с нулевыми свободными членами. Если Wинвариантное относительно gподпространство в V, то Wинвариантно относительно gs и gn, причем

является Ж. р. для g|W (здесь |W обозначает сужение эндоморфизма на подпространство W). Если k- подполе в Ки gрационально над к (относительно некоторой k-структуры на V), то gs и gn не будут, вообще говоря, рациональными над k;можно лишь утверждать, что gs и gn рациональны над полем kp-°°, где , р- характеристическая экспонента поля к(при р = 1 совпадает с к, а при р>1 это - множество всех элементов из К, чисто несепарабельных над k).

Если g- автоморфизм пространства V, то gs- также автоморфизм Vи где - тождественный автоморфизм пространства V. Автоморфизм gu является унипотентным, т. е. все его собственные значения равны единице. Всякое представление автоморфизма g в виде произведения коммутирующих полупростого и унипотентного автоморфизмов совпадает с описанным представлением g=gsgu=gugs. Это представление наз. мультипликативным Ж. р. автоморфизма g,a gs и gu- полупростой и унппотентной компонентой автоморфизма g. Если gрационален над k, то gs и ga рациональны над Если W - инвариантное относительно gподпространство в V, то Wинвариантно относительно gs и ga,a - мультипликативное Ж. р. автоморфизма g|W.

Понятие Ж. р. может быть обобщено на локально конечные эндоморфизмы бесконечномерного векторного пространства V, т. е. такие эндоморфизмы g, что Vпорождается конечномерными g-инвариантными подпространствами. Для gимеют место существование и единственность представления в виде суммы gs+gn, а в случае автоморфизма - в виде произведения gsgu, коммутирующих локально конечных полупростого и нильпотентного эндоморфизмов (соответственно полупростого и унипотентного автоморфизмов), т. е. таких эндоморфизмов, что любое конечномерное g-инвариантное подпространство Wв Vинвариантно относительно gs и gn (соответственно gs и gu)n g|W= gs|W+gn|W (соответственно g|W=gs|W gu|W есть Ж. р. для gw).

Указанное распространение понятия Ж. р. на локально конечные эндоморфизмы позволяет ввести определение Ж. р. в алгебраич. группах и алгебраич. алгебрах Ли. Пусть G- аффинная алгебраич. группа над К,- ее алгебра Ли, р - представление Gв группу автоморфизмов алгебры K[G]. регулярных функций на G, определенное правыми сдвигами, и dp- его дифференциал. Для любых gиз Gи Xиз эндоморфизмы r(g). и dr(X). векторного пространства K[G]являются локально конечными, поэтому можно говорить об их Ж. р.:

и

Один из важных результатов теории алгебраич. групп состоит в том, что указанные Ж. р. реализуются с помощью элементов из Gи соответственно. Точнее, существуют однозначно определенные элементы gs, и Xs, такие, что

и

Разложение (1) наз. Ж. р. в алгебраической группе G, а разложение (2) - Ж. р. в алгебраической алгебре Ли Если Gопределена над подполем кполя Ки элемент (соответственно рационален над к, то gs, gu (соответственно Xs, Х п )рациональны над Более того, если Gреализована как замкнутая подгруппа полной линейной группы GL(V)автоморфизмов некоторого конечномерного векторного пространства V[и, следовательно, реализуется как подалгебра в алгебре Ли группы GL(V)], то Ж. р. (1) для элемента совпадает с введенным выше мультипликативным Ж. р. для g, а разложение (2) для - с аддитивным Ж. р. для X(рассматриваемых как эндоморфизмы пространства V). Если j: - рациональный гомоморфизм аффинных алгебраич. групп и dj:- соответствующий гомоморфизм их алгебр Ли, то

для любых

Понятие Ж. р. в алгебраич. группах и алгебрах Ли позволяет ввести определение полупростого, унипотентного (соответственно нильпотентного) элементов в произвольной аффинной алгебраич. группе (соответственно алгебраич. алгебре Ли). Элемент gО G наз. полупростым, если g=gs, и унипотентным, если g=gu;. элемент наз. полупростым, если Х=Х S, и нильпотентным, если Х=Х п. Пусть Gопределена над к, тогда

является А-замкнутым подмножеством в G, а

- А-замкнутым подмножеством в У . В общем случае

не является замкнутым множеством, но если Gкоммутативна, то Gs и Gu являются замкнутыми подгруппами и G=GSGa. Множества Gs и Gu в произвольной аффинной алгебраич. группе инвариантны относительно внутренних автоморфизмов, и изучение разбиения этих множеств на классы сопряженных элементов составляет предмет специальных исследований [3].

Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Kolchin E. R., "Ann. Math.", 1948, v. 49, p. 1-42; [3] Семинар по алгебраическим группам, пер. с англ., М., 1973.

В. Л. Попов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ЖОРДАНА РАЗЛОЖЕНИЕ" в других словарях:

  • Разложение Хана-Жордана — Заряд  вещественнозначная конечно аддитивная функция множества, определённая на некоторой σ алгебре, (например, борелевских подмножеств). В отличие от обычной меры под которой, обычно понимают положительную σ аддитивную функцию множества, заряд… …   Википедия

  • Разложение Хана—Жордана — Заряд  вещественнозначная конечно аддитивная функция множества, определённая на некоторой σ алгебре, (например, борелевских подмножеств). В отличие от обычной меры под которой, обычно понимают положительную σ аддитивную функцию множества, заряд… …   Википедия

  • Разложение — В Викисловаре есть статья «разложение» Разложение  разрушение, распад сложного объекта на составляющие: В химии  реакции разложения В биологии, биохимии  разложение отмерших животных и растительных остатков под действием бактерий и …   Википедия

  • ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИИ — числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с ее дифференциальными свойствами. 1) Пусть функция действительного переменного х, заданная на отрезке ; ее вариация есть точная верхняя грань сумм вида где… …   Математическая энциклопедия

  • ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ ФУНКЦИЯ — функция, имеющая ограниченную вариацию (см. Вариация функции). Для функций одного действительного переменного понятие О. в. ф. введено К. Жорданом [1] в связи с обобщением Дирихле теоремы о сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций (см.… …   Математическая энциклопедия

  • МАКСИМАЛЬНЫЙ ТОР — 1) М. т. линейной алгебраической группы G алгебраическая подгруппа в G, являющаяся алгебраическим тором и не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа. Пусть, далее, группа Gсвязна. Объединение всех М. т. группы Gсовпадает с… …   Математическая энциклопедия

  • КАРТАНА ПОДАЛГЕБРА — конечномерной алгебры Ли g над полем k нильпотентная подалгебра в совпадающая со своим нормализатором в Напр., если алгебра Ли всех комплексных квадратных матриц фиксированного порядка, то подалгебра всех диагональных матриц является К. п. в g. К …   Математическая энциклопедия

  • КАРТАНА ПОДГРУППА — группы G максимальная нильпотентная подгруппа Св G, всякий нормальный делитель конечного индекса к рой является подгруппой конечного индекса в своем нормализаторе в G. Если G связная линейная алгебраич. группа над полем характеристики 0, то К. п …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА — 1) Алгебра Ли алгебраич. подгруппы (см. Алгебраическая группа).полной линейной группы, всех автоморфизмов конечномерного векторного пространства Vнад полем k. Если произвольная подалгебра в алгебре Ли всех эндоморфизмов V, то существует… …   Математическая энциклопедия

  • РЕПЛИКА — э н д о м о р ф и з м а Xконечномерного векторного пространства Vнад полем kхарактеристики 0 элемент наименьшей, содержащей X, алгебраич. подалгебры (см. Ли алгебраическая алгебра). Эндоморфизм является Р. эндоморфизма Xтогда и только тогда,… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»