ЖОРДАНА РАЗЛОЖЕНИЕ

- 1) Ж. р. функции ограниченной вариации - представление функции f в виде

где f₁ и f₂ - монотонно возрастающие функции. Ж. р. наз. также представление обобщенной меры, или зарядаm(Е)измеримого множества Ев виде разности мер

где хотя бы одна из мерm⁺ или m^- конечна. Установлено К. Жорданом.

Лит.:[1] Jordan С, Cours d'analyse, t. 1, P., 1893; [2] Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [3] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974.

М. И. Войцеховский.

2) Ж. р. эндоморфизма gконечномерного векторного пространства - представление этого эндоморфизма в виде суммы полупростого и нильпотентного эндоморфизмов, коммутирующих между собой: g=g_s+g_n. Эндоморфизмы g_s и g_n наз. соответственно полупростой и нильпотентной компонентами Ж. р. эндоморфизма g. Такое представление наз. аддитивным Ж. р. (Полупростой эндоморфизм - эндоморфизм, обладающий при нек-ром расширении основного поля базисом из собственных векторов, нильпотентный - равный в некоторой степени нулю.) Если в нек-ром базисе пространства матрица || а _ij|| эндоморфизма gявляется жордановой матрицей, а t- такой эндоморфизм, что в том же базисе его матрица имеет вид ||b_ij||, где b_ij=0 при всех и b_ii=±a_ii для всех i, то будет Ж. р. эндоморфизма gс g_s="и g_n=g- t.

Ж. р. существует и единственно для любого эндоморфизма gвекторного пространства Vнад алгебраически замкнутым полем К. Более того, g_s-P(g)и g_n=Q(g)для некоторых многочленов Ри Qнад полем К(зависящих от g)с нулевыми свободными членами. Если Wинвариантное относительно gподпространство в V, то Wинвариантно относительно g_s и g_n, причем

является Ж. р. для g|_W (здесь |_W обозначает сужение эндоморфизма на подпространство W). Если k- подполе в Ки gрационально над к (относительно некоторой k-структуры на V), то g_s и g_n не будут, вообще говоря, рациональными над k;можно лишь утверждать, что g_s и g_n рациональны над полем k^p-°°, где , р- характеристическая экспонента поля к(при р = 1 совпадает с к, а при р>1 это - множество всех элементов из К, чисто несепарабельных над k).

Если g- автоморфизм пространства V, то g_s- также автоморфизм Vи где 1у- тождественный автоморфизм пространства V. Автоморфизм g_u является унипотентным, т. е. все его собственные значения равны единице. Всякое представление автоморфизма g в виде произведения коммутирующих полупростого и унипотентного автоморфизмов совпадает с описанным представлением g=g_sg_u=g_ug_s. Это представление наз. мультипликативным Ж. р. автоморфизма g,a g_s и g_u- полупростой и унппотентной компонентой автоморфизма g. Если gрационален над k, то g_s и g_a рациональны над Если W - инвариантное относительно gподпространство в V, то Wинвариантно относительно g_s и g_a,a - мультипликативное Ж. р. автоморфизма g|_W.

Понятие Ж. р. может быть обобщено на локально конечные эндоморфизмы бесконечномерного векторного пространства V, т. е. такие эндоморфизмы g, что Vпорождается конечномерными g-инвариантными подпространствами. Для gимеют место существование и единственность представления в виде суммы g_s+g_n, а в случае автоморфизма - в виде произведения g_sg_u, коммутирующих локально конечных полупростого и нильпотентного эндоморфизмов (соответственно полупростого и унипотентного автоморфизмов), т. е. таких эндоморфизмов, что любое конечномерное g-инвариантное подпространство Wв Vинвариантно относительно g_s и g_n (соответственно g_s и g_u)n g|_W= g_s|_W+g_n|_W (соответственно g|_W=g_s|_W g_u|_W есть Ж. р. для g_w).

Указанное распространение понятия Ж. р. на локально конечные эндоморфизмы позволяет ввести определение Ж. р. в алгебраич. группах и алгебраич. алгебрах Ли. Пусть G- аффинная алгебраич. группа над К,- ее алгебра Ли, р - представление Gв группу автоморфизмов алгебры K[G]. регулярных функций на G, определенное правыми сдвигами, и dp- его дифференциал. Для любых gиз Gи Xиз эндоморфизмы r(g). и dr(X). векторного пространства K[G]являются локально конечными, поэтому можно говорить об их Ж. р.:

и

Один из важных результатов теории алгебраич. групп состоит в том, что указанные Ж. р. реализуются с помощью элементов из Gи соответственно. Точнее, существуют однозначно определенные элементы g_s, и X_s, такие, что

и

Разложение (1) наз. Ж. р. в алгебраической группе G, а разложение (2) - Ж. р. в алгебраической алгебре Ли Если Gопределена над подполем кполя Ки элемент (соответственно рационален над к, то g_s, g_u (соответственно X_s, Х _п )рациональны над Более того, если Gреализована как замкнутая подгруппа полной линейной группы GL(V)автоморфизмов некоторого конечномерного векторного пространства V[и, следовательно, реализуется как подалгебра в алгебре Ли группы GL(V)], то Ж. р. (1) для элемента совпадает с введенным выше мультипликативным Ж. р. для g, а разложение (2) для - с аддитивным Ж. р. для X(рассматриваемых как эндоморфизмы пространства V). Если j: - рациональный гомоморфизм аффинных алгебраич. групп и dj:- соответствующий гомоморфизм их алгебр Ли, то

для любых

Понятие Ж. р. в алгебраич. группах и алгебрах Ли позволяет ввести определение полупростого, унипотентного (соответственно нильпотентного) элементов в произвольной аффинной алгебраич. группе (соответственно алгебраич. алгебре Ли). Элемент gО G наз. полупростым, если g=g_s, и унипотентным, если g=g_u;. элемент наз. полупростым, если Х=Х _S, и нильпотентным, если Х=Х _п. Пусть Gопределена над к, тогда

является А-замкнутым подмножеством в G, а

- А-замкнутым подмножеством в У . В общем случае

не является замкнутым множеством, но если Gкоммутативна, то G_s и G_u являются замкнутыми подгруппами и G=G_SG_a. Множества G_s и G_u в произвольной аффинной алгебраич. группе инвариантны относительно внутренних автоморфизмов, и изучение разбиения этих множеств на классы сопряженных элементов составляет предмет специальных исследований [3].

Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Kolchin E. R., "Ann. Math.", 1948, v. 49, p. 1-42; [3] Семинар по алгебраическим группам, пер. с англ., М., 1973.

В. Л. Попов.