Разложение Хана—Жордана

Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой σ-алгебре, (например, борелевских подмножеств).

В отличие от обычной меры под которой, обычно понимают положительную σ-аддитивную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения и необязательно быть счётно-аддитивным.

При этом, термин заряд и конечно-аддитивная мера это синонимы.

Множество всех зарядов над произвольным множеством X c сигма-алгеброй Σ принято обозначать $ba(X,\;\Sigma)$.

Связанные определения

• Положительный заряд $\nu\in ba(X,\;\Sigma)$ называется чисто конечно аддитивным, если для любой положительной счётно-аддитивной меры μ из $0\leqslant\mu\leqslant\nu$ вытекает, что μ = 0.
  • Произвольный заряд чисто конечно аддитивен если таковы заряды ν ⁺ и ν ⁻ .

Свойства

• Множество всех зарядов образует нормированную решётку и даже более, того K-пространство.
• Для любого заряда ν имеется положительную часть $\nu^{+}\geqslant 0$ и отрицательную часть $\nu^{-}\geqslant 0$. Имеет место разложение Хана — Жордана ν = ν ⁺ − ν ⁻ , в силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры.
• Пусть $\mu\in ba(X,\;\Sigma)$.
  Для любой заряда ν единственным образом представим ввиде суммы ν = ν₁ + ν₂, где ν₁ абсолютно непрерывна относительно μ и ν₂ дизъюнктна μ. Такое представление меры ν принято назвать разложение по Лебегу.
• Любой заряд $\nu\in ba(X,\;\Sigma)$ единственным образом представим в виде суммы ν = ν_ca + ν_pfa, где ν_ca произвольная счётно-аддитивная мера, а ν_pfa произвольная чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют разложением Иосиды — Хьюита.
• Пространство $ba(X,\;\Sigma)$ является топологически сопряжённым к пространству измеримых и ограниченных функций заданных над данным измеримым пространством.

История

Термин заряд был впервые введён А. Д. Александровым. Изучение заряда послужило толчком для развития конечно-аддитивной теории меры (40-ые года XX века).

См. также

• Теорема Хана о разложении (англ.)

Литература

• Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962
• Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциалов. — М., 1966
• Халмош П. Теория меры. / Пер. с англ. — М., 1953.
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces I// Матем. сборник 1940. V.8(50), N 2. P.307-348
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces II// Матем. сборник 1941. V.9(51), N 3. P.563-628
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces III// Матем. сборник 1943. V.13(55), N 2. P.169-293
• Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures// Trans. Amer. Math. Soc. 1952. v. 72, N 1. P. 46—66