Диофантовы уравнения это:

Диофантовы уравнения
(по имени древнегреческого математика Диофанта)
        алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие Д. у. в современной математике расширено: это уравнения, у которых разыскиваются решения в алгебраических числах (См. Алгебраическое число). Д. у. называются также неопределёнными. Простейшее Д. у. ax + by = 1, где а и b — целые Взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений: если x0 и у0 — одно решение, то числа х = x0 + bn, у = y0-an (n — любое целое число) тоже будут решениями. Так, все целые решения уравнения 2x + 3у = 1 получаются по формулам х = 2 + 3n, у = - 1 — 2n (здесь x0 = 2, у0 = - 1). Другим примером Д. у. является x2 + у2 = z2. Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами (См. Пифагоровы числа). Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам х = m2 - n2, у = 2mn, z = m2 + n2, где m и n — целые числа (m> n > 0).
         Диофант в сочинении «Арифметика» занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Д. у. Общая теория решения Д. у. первой степени была создана в 17 в. французским математиком К. Г. Баше; к началу 19 в. трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса в основном было исследовано Д. у. вида
         ах2 + bxy + су2 + dx + еу + f = 0,
        где а, b, с, d, е, f — целые числа, т. е. общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, например, что Д. у. x2dy2 = 1 (Пелля уравнение), где d — целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого уравнения, а Лагранж доказал бесконечность числа решений. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное Д. у. второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм (См. Квадратичная форма), являющуюся основой решения некоторых типов Д. у. В исследованиях Д. у. степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты серьёзные успехи лишь в 20 в. А. Туз установил, что Д. у.
         a0 xn + a1xn-1y +... + anyn = с
        (где n ≥ 3, a0, а1,..., an, с — целые и многочлен a0tn + a1, tn-1 +...+ an неприводим в поле рациональных чисел) не может иметь бесконечного числа целых решений. Английским математиком А. Бейкером получены эффективные теоремы о границах решений некоторых таких уравнений. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Д. у., но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Д. у. вида
         ax3 + y3 =1.
        Существует много направлений теории Д. у. Так, известной задачей теории Д. у. является Ферма великая теорема. Советским математикам (Б. Н. Делоне, А. О. Гельфонду, Д. К. Фаддееву и др.) принадлежат фундаментальные работы по теории Д. у.
         Лит.: Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 2 изд., М., 1956; Dickson L. Е., History of the theory of numbers, v. 2, Wash., 1920; Skolem Th., Diophantische Gleichungen, B., 1938.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Диофантовы уравнения" в других словарях:

  • ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения …   Большой Энциклопедический словарь

  • ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебраич. уравнения или системы алгебраич. уравнений с рациональными коэффициентами, решения к рых отыскиваются в целых или рациональных числах. Обычно предполагается, что Д. у. имеют число неизвестных, превосходящее число уравнений, в связи с… …   Математическая энциклопедия

  • Диофантовы уравнения — Диофантово уравнение или уравнение в целых числах это уравнение с целыми коэффициентами и неизвестными, которые могут принимать только целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта. Содержание 1 Линейные диофантовы… …   Википедия

  • Диофантовы уравнения — алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. * * * ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ, алгебраические… …   Энциклопедический словарь

  • ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебр. ур ния или их системы с целыми коэф., имеющие число неизвестных, превосходящее число ур ний, и у к рых разыскиваются целые или рациональные решения. Названы по имени Диофанта Александрийского …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ДИОФАНТОВЫ ПРОБЛЕМЫ АДДИТИВНОГО ТИПА — диофантовы уравнения, для к рых ставится задача нахождения целочисленных решений и к рые могут одновременно рассматриваться как аддитивные проблемы, т. е. как задачи о разбиении целого числа п(произвольного или подчиненного дополнительным… …   Математическая энциклопедия

  • ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ — раздел теории чисел, в к ром изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных аргументов. Первоначальные задачи Д. п. касались рациональных приближений к действительным числам, но развитие теории привело к задачам, в …   Математическая энциклопедия

  • УРАВНЕНИЯ — Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида… …   Энциклопедия Кольера

  • Диофантовы приближения —         часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с… …   Большая советская энциклопедия

  • Диофантово уравнение — это уравнение вида где P целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта. Содержание 1 Примеры …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Диофантовы уравнения» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»