Диофантовы приближения это:

Диофантовы приближения
        часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с действительными коэффициентами. Д. п. названы по имени древнегреческого математика Диофанта, который занимался задачей решения алгебраических уравнений в целых числах — так называемых диофантовых уравнений (См. Диофантовы уравнения). Методы теории Д. п. основаны на применении непрерывных дробей (См. Непрерывная дробь), Фарея рядов и Дирихле принципа.
         Задача о приближении одного числа рациональными дробями решается с помощью всех этих трёх методов и особенно с применением непрерывных дробей. Приближение действительного числа α подходящими дробями pklqk разложения α в непрерывную дробь характеризуется неравенством |α — pk/qk| < 1/qk2; с другой стороны, если несократимая дробь a/b удовлетворяет неравенству |α — а/b | < 1/2b2, то она является подходящей дробью разложения α в непрерывную дробь. Глубокие исследования о приближении действительных чисел α рациональными дробями принадлежат А. А. Маркову (старшему). Существует много расширений задачи о приближении числа рациональными дробями; к ним прежде всего относится задача об изучении выражений xθ — у — α, где θ и α — некоторые действительные числа, а х и у принимают целые значения (так называемая неоднородная одномерная задача). Первые результаты в решении этой задачи принадлежат П. Л. Чебышеву. Среди разнообразных теорем о приближённом решении в целых числах систем линейных уравнений (многомерные задачи Д. п.) особенно известна теорема, принадлежащая Л. Кронекеру: если α1,..., αn — действительные числа, для которых равенство a1α1 +...+anαn = 0 с целыми a1,..., an возможно лишь при a1 =... = an = 0, a β1,..., βn — некоторые действительные числа, то при любом заданном ε > 0 можно найти число t и такие целые числа х1,..., xn, что выполняются неравенства |tαk - βk - xk| < ε, k = 1,2,..., n. Для решения многомерных задач Д. п. весьма плодотворным является принцип Дирихле. Методы, основанные на принципе Дирихле, позволили А. Я. Хинчину и др. учёным построить систематическую теорию многомерных Д. п. Для теории Д. п. важное значение имеет связь с геометрией, основанная на том, что систему линейных форм с действительными коэффициентами можно изобразить как решётку в n-мepном арифметическом пространстве. В конце 19 в. Г. Минковский доказал ряд геометрических теорем, имеющих приложения в теории Д. п.
         В вопросах нелинейных Д. п. замечательные результаты получил И. М. Виноградов. Созданные им методы занимают центральное место в этой области теории чисел. Одной из важнейших задач теории Д. п. является проблема приближения алгебраических чисел (См. Алгебраическое число) рациональными.
         К Д. п. относится теория трансцендентных чисел (См. Трансцендентное число), в которой находят оценки для модулей линейных форм и многочленов от одного и нескольких чисел с целыми коэффициентами. Теория Д. п. тесно связана с решением диофантовых уравнений и с различными задачами аналитической теории чисел.
         Лит.: Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; Гельфонд А. О., Приближение алгебраических чисел алгебраическими же числами и теория трансцендентных чисел, «Успехи математических наук», 1949, т. 4, в. 4; Фельдман Н. И., Шидловский А. Б., Развитие и современное состояние теории трансцендентных чисел, там же, 1967, т. 22, в. 3; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 3 изд., М., 1961; Koksma J. F., Diophantische Approximationen, B., 1936.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Диофантовы приближения" в других словарях:

  • ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ — раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами …   Большой Энциклопедический словарь

  • Диофантовы приближения — раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами. * * * ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ,… …   Энциклопедический словарь

  • ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ — раздел теории чисел, в к ром изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных аргументов. Первоначальные задачи Д. п. касались рациональных приближений к действительным числам, но развитие теории привело к задачам, в …   Математическая энциклопедия

  • ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ — раздел теории чисел, изучающий приближения действит. чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действит. коэффициентами. Названы по имени Диофанта Александрийского …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • аномально точные совместные диофантовы приближения — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index&d=4995] Тематики защита информации EN UGSDAunusually good simultaneous diophantine approximation …   Справочник технического переводчика

  • одновременные Диофантовы приближения — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index&d=4403] Тематики защита информации EN simultaneous Diophantine approximation …   Справочник технического переводчика

  • ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебраич. уравнения или системы алгебраич. уравнений с рациональными коэффициентами, решения к рых отыскиваются в целых или рациональных числах. Обычно предполагается, что Д. у. имеют число неизвестных, превосходящее число уравнений, в связи с… …   Математическая энциклопедия

  • Диофантовы и лиувиллевы числа — В математике, иррациональное число x называется диофантовым[источник не указан 305 дней], если при его приближении рациональным числом ошибка составляет не менее некоторой степени знаменателя: В противном случае, число… …   Википедия

  • Диофантово приближение — Диофантовы приближения  часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем …   Википедия

  • ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ — раздел чистой математики, занимающийся изучением целых чисел 0, ±1, ±2,... и соотношений между ними. Иногда теорию чисел называют высшей арифметикой. Отдельные вычисления, производимые над конкретными числами, например, 9 + 16 = 25, не… …   Энциклопедия Кольера

Книги

  • Геометрия чисел, П. М. Грубер, К. Г. Леккеркеркер. Книга достаточно полно освещает геометрию чисел, включая связи с другими областями математики, такими как выпуклая геометрия, упаковки и покрытия, диофантовы приближения, аналитическая теория… Подробнее  Купить за 782 руб


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»