Круговые функции

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• аркси́нус (обозначение: arcsin)
• аркко́синус (обозначение: arccos)
• аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)
• арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan)
• арксе́канс (обозначение: arcsec)
• арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin⁻¹ для арксинуса и т. п.; это считается неоправданным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Основное соотношение

$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$

$\operatorname {arctg}\, x + \operatorname {arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}$

Функция arcsin

График функции y = arcsinx.

Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого $\sin x = m,\, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2},\, |m|\leqslant 1.$

Функция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.

• $\sin (\arcsin x) = x\qquad$ при $-1 \leqslant x \leqslant 1,$
• $\arcsin(\sin y) = y\qquad$ при $-\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},$
• $D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad$ (область определения),
• $E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad$ (область значений).

Свойства функции arcsin

• $\arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad$ (функция является нечётной).
• $\arcsin x>0 \,$ при $0 < x \leqslant 1.$
• $\arcsin x = 0\,$ при x = 0.
• $\arcsin x < 0\,$ при $-1 \leqslant x < 0.$
• $\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ -\arccos \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end{matrix}\right.$
• $\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 \\ -\operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.$

Получение функции arcsin

Дана функция y = sinx. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arcsinx функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — $\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$. Так как для функции y = sinx на интервале $\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$ каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция y = arcsinx, график которой симметричен графику функции y = sinx на отрезке $\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$ относительно прямой y = x.

Функция arccos

График функции y = arccosx.

Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого $\cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1.$

Функция y = cosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccosx является строго убывающей.

• cos(arccosx) = x при $-1 \leqslant x \leqslant 1,$
• arccos(cosy) = y при $0 \leqslant y \leqslant \pi.$
• D(arccosx) = [ − 1;1], (область определения),
• E(arccosx) = [0;π]. (область значений).

Свойства функции arccos

• arccos( − x) = π − arccosx (функция центрально-симметрична относительно точки $\left (0; \frac{\pi}{2}\right).$
• arccosx > 0 при $-1 \leqslant x < 1.$
• arccosx = 0 при x = 1.
• $\arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end{matrix}\right.$
• $\arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 \\\pi+\operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix} \right.$

Получение функции arccos

Дана функция y = cosx. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arccosx функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения — [0;π]. На этом отрезке y = cosx строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0;π] существует обратная функция y = arccosx, график которой симметричен графику y = cosx на отрезке [0;π] относительно прямой y = x.

Функция arctg

График функции $y=\operatorname{arctg}\, x$.

Арктангенсом числа m называется такой угол α, для которого $\operatorname{tg}\, \alpha = m, \qquad -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}.$

Функция $y=\operatorname{arctg} x$ непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция $y=\operatorname{arctg} x$ является строго возрастающей.

• $\operatorname{tg}\,(\operatorname{arctg}\, x)=x$ при $x \in \mathbb R,$
• $\operatorname{arctg}\,(\operatorname{tg}\, y)=y$ при $-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},$
• $D(\operatorname{arctg}\,x) \in \mathbb R,$
• $E(\operatorname{arctg}\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$

Получение функции arctg

Дана функция $y=\operatorname{tg}\, x.$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\operatorname{arctg}\, x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right).$ На этом отрезке $y=\operatorname{tg}\, x$ строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$ существует обратная $y=\operatorname{arctg}\, x$, график которой симметричен графику $y=\operatorname{tg}\,x$ на отрезке $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$ относительно прямой y = x.

Функция arcctg

График функции y=arcctg x

Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого $\operatorname{ctg}\,x = m,\qquad 0 < x < \pi.$

Функция $y=\operatorname{arcctg}\, x$ непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция $y=\operatorname{arcctg}\, x$ является строго убывающей.

• $\operatorname{ctg}\,(\operatorname{arcctg}\, x) = x$ при $x \in \mathbb R,$
• $\operatorname{arcctg}\,(\operatorname{ctg}\, y) = y$ при 0 < y < π,
• $D(\operatorname{arcctg}\, x) = (-\infty; \infty),$
• $E(\operatorname{arcctg}\, x) = (0; \pi).$

Свойства функции arcctg

• $\operatorname{arcctg}\, (-x) = \pi - \operatorname{arcctg}\, x$ (график функции центрально-симметричен относительно точки $\left(0; \frac{\pi}{2}\right).$
• $\operatorname{arcctg}\, x &amp;gt; 0$ при любых x.
• $\operatorname{arcctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \geqslant 0 \\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \leqslant 0\end{matrix}\right.$

Получение функции arcctg

Дана функция $y=\operatorname{ctg}\, x$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\operatorname{arcctg}\, x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — (0;π). На этом отрезке $y=\operatorname{ctg}\, x$ строго возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале (0;π) существует обратная функция $y=\operatorname{arcctg}\, x$, график которой симметричен графику $y=\operatorname{ctg}\, x$ на отрезке (0;π) относительно прямой y = x. График симметричен к арктангенсу

Функция arcsec

arcsec(x) = arccos(1/x)

Функция arccosec

arccosec(X) = arcsin(1/x)

Производные от обратных тригонометрических функций

• $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$
• $(\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.$
• $(\operatorname{arctg}\, x)' = \frac{1}{\ 1+x^2}.$
• $(\operatorname{arcctg}\, x)' = -\frac{1}{\ 1+x^2}.$

Интегралы от обратных тригонометрических функций

Неопределённые интегралы

Для действительных и комплексных x:

$\begin{align} \int \arcsin x\,dx &amp;amp;{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \arccos x\,dx &amp;amp;{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \operatorname{arctg}\,x\,dx &amp;amp;{}= x\,\operatorname{arctg}\,x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\ \int \operatorname{arcctg}\, x\,dx &amp;amp;{}= x\,\operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\ \int \arcsec x\,dx &amp;amp;{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2})\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &amp;amp;{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2})\right) + C. \end{align}$

Для действительных x≥1:

$\begin{align} \int \arcsec x\,dx &amp;amp;{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &amp;amp;{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C. \end{align}$

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Разложение в бесконечные ряды

$\begin{align} \arcsin z &amp;amp; {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots =\\ &amp;amp; {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1. \end{align}$

$\begin{align} \arccos z &amp;amp; {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z =\\ &amp;amp; {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) =\\ &amp;amp; {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1. \end{align}$

$\begin{align} \operatorname{arctg}\,z &amp;amp; {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots =\\ &amp;amp; {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i. \end{align}$

$\begin{align} \operatorname{arcctg}\,z &amp;amp; {}= \frac {\pi} {2} - \operatorname{arctg}\,z =\\ &amp;amp; {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) =\\ &amp;amp; {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i. \end{align}$

$\begin{align} \arcsec z &amp;amp; {}= \arccos\left(z^{-1}\right) =\\ &amp;amp; {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) =\\ &amp;amp; {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} ; \qquad \left| z \right| \ge 1. \end{align}$

$\begin{align} \operatorname{arccosec}\,z &amp;amp; {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) =\\ &amp;amp; {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots =\\ &amp;amp; {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1} ; \qquad \left| z \right| \ge 1. \end{align}$

Для арктангенса используется также более быстро сходящийся ряд, открытый Леонардом Эйлером:

$\operatorname{arctg}\,x = \frac{x}{1+x^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k x^2}{(2k+1)(1+x^2)}$

(член в сумме при n= 0 принимается равным 1).

Использование в геометрии

Прямоугольный треугольник ABC

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике, эти функции от отношений сторон сразу дают угол:

α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)

См. также

• Тригонометрические функции
• Обратные гиперболические функции
• Теорема Данжуа — Лузина

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
• Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии
• Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
• Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции