Косоортогональное дополнение

Симплектическое пространство — это линейное пространство S с заданной на нём симплектической формой ω, то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:

$\omega(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = - \omega(\mathbf{b}, \mathbf{a})$

$\omega(\mathbf{a}, \,\lambda\,\mathbf{b} + \mu\,\mathbf{c}) = \lambda\,\omega(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + \mu\,\omega(\mathbf{a}, \mathbf{c})$

$\forall \mathbf{a}\in \mathbb{S},\, \mathbf{a}\neq 0 ~~ \exists \mathbf{b}\in \mathbb{S}\,:\, \omega(\mathbf{a}, \mathbf{b}) \neq 0$

Симплектическая форма обычно обозначается $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$. В отличие от формы скалярного произведения, для которой

$\forall \mathbf{a}\neq 0 \,:\,(\mathbf{a},\mathbf{a}) >0$,

для симплектической формы всегда $\left\langle \mathbf{a} , \mathbf{a} \right\rangle = 0$

Связанные определения

• Линейное преобразование L симплектического пространства называется симплектическим, если оно сохраняет симплектическую форму:

$\left\langle \mathbf{a} , \mathbf{b} \right\rangle = \left\langle L(\mathbf{a}) , L(\mathbf{b}) \right\rangle$

• Множество всех симплектических преобразований пространства S образует группу, называемую симплектической группой и обозначаемую Sp(S).
• Матрица симплектического преобразования называется симплектической матрицей.
• Подпространство s симплектического пространства S называется симплектическим, если ограничение симплектической формы на s невырождено.
• Два вектора $\mathbf{a},\mathbf{b} \in S$ называются косоортогональными, если

$\left\langle \mathbf{a} , \mathbf{b} \right\rangle = 0$

Отметим, что любой вектор косоортогонален самому себе.

• Косоортогональным дополнением подпространства $s \sub S$ называется множество всех векторов, косоортогональных любому вектору из s.

Каноническая структура

Симплектическую структуру можно ввести на любом чётномерном векторном пространстве. Можно показать, что на нечётномерном пространстве не существуют невырожденные кососимметрические 2-формы. Все сиплектические пространства одинаковой размерности симплектически изоморфны. Эти факты следуют из теоремы Дарбу для симплектических пространств. Идея доказательства заключается в следующем. Рассмотрим некоторый вектор $\mathbf{q_1} \in \mathbb{S}, ~~ \dim \,\mathbb{S} = 2 n$. В силу невырожденности ω существует такой вектор $\mathbf{p_1} \in \mathbb{S}$, что

$\left\langle \mathbf{p_1} , \mathbf{q_1} \right\rangle = 1$

Рассмотрим косоортогональное дополнение к линейной оболочке V векторов $\mathbf{p_1}$ и $\mathbf{q_1}$. Можно показать, что это будет (2n-2)-мерное подпространство S, не пересекающееся c V, причём ограничение ω на нём невырождено. Следовательно, процесс можно продолжить по индукции. Для нечётномерного пространства процесс завершится на одномерном подпространстве, на котором ω заведомо вырождена, так что предположение о существовании симплектической структуры было неверным. Для чётномерного пространства мы получим базис

$(\mathbf{p_1}, \dots, \mathbf{p_n}, \mathbf{q_1}, \dots, \mathbf{q_n})$,

такой что

$\left\langle \mathbf{p_i} , \mathbf{q_j} \right\rangle = \delta_{i j}, ~~ \left\langle \mathbf{q_i} , \mathbf{q_j} \right\rangle = \left\langle \mathbf{p_i} , \mathbf{p_j} \right\rangle = 0$

где δ_ij — дельта Кронекера. Он называется каноническим базисом или базисом Дарбу.

В каноническом базисе матрица симплектической формы примет вид

$\Omega_n = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}$

где I_n — единичная матрица порядка n. Ω_n является симплектической матрицей.

Строение подпространств

Рассмотрим подпространство $W \sub \mathbb{S}$ и его косоортогональное дополнение $W^\perp$. В силу невырожденности ω:

$\dim \,W + \dim \,W^\perp = \dim\,\mathbb{S}$

Кроме того,

$(W^\perp)^\perp = W$

В общем случае эти подпространства пересекаются. В зависимости от их взаимного положения выделяют 4 типа подпространств:

• Симплектические: $W \cap W^\perp = 0$. Это верно тогда и только тогда, когда ограничение ω на W невырождено, так что такое определение симплектических подпространств совпадает с данным ранее. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_1, \dots, p_k,0,\dots,0; ~ q_1,\dots,q_k,0,\dots,0),\, 2k=\dim\,W$

• Изотропные: $W \sub W^\perp$. Подпространство изотропно тогда и только тогда, когда ω тождественно равна нулю на нём. Любое одномерное подпространство изотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_1, \dots, p_k,0,\dots,0; ~ 0,\dots,0),\, k=\dim\,W$.

• Коизотропные: $W^\perp \sub W$. W коизотропно тогда и только тогда, когда ω невырождена на факторпространстве $W\,/\,W^\perp$. Любое подпространство коразмерности 1 коизотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_1, \dots, p_n; ~ q_1,\dots,q_k,0,\dots,0),\, n+k=\dim\,W,\, 2n=\dim\,\mathbb{S}$

• Лагранжевы: $W^\perp = W$. W лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. Любое изотропное подпространство вкладывается в лагранжево, а любое коизотропное подпространство содержит лагранжево. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_1, \dots, p_n; ~ 0,\dots,0),\, n=\dim\,W, \,2n =\dim\,\mathbb{S}$

Множество всех лагранжевых подпространств пространства размерности 2n образует многообразие, называемое лагранжевым грассманианом Λ_n. Оно диффеоморфно многообразию смежных классов унитарной группы $\mathbb{U}_n$ по ортогональной подгруппе $\mathbb{O}_n$, при этом

$\dim \,\Lambda_n = \frac{n(n+1)}{2}$

Примеры

• В комплексном пространстве $\mathbb{C}^n$ можно задать билинейную кососимметричную форму по формуле

$\left\langle u, w \right\rangle = \operatorname{Im} \left[ u,w \right]$

где $\left[ \cdot,\cdot \right]$ — эрмитово скалярное произведение. Эта форма задаёт симплектическую структуру на овеществлении $\mathbb{R}^{2n}$ пространства $\mathbb{C}^n$.

• Для любого пространства V существует каноническая симплектическая структура на пространстве $V\cup V^*$, где V ^* — сопряжённое к V пространство. Кососкалярное произведение определяется для базисных векторов в V и сопряжённых к ним по формуле

$\left\langle w, u \right\rangle = 1, ~~u^* = w, ~~u\in V$

$\left\langle w, u \right\rangle = 0, ~~u^* \neq w,~~ \forall u,w \in V\cup V^*$

и продолжается на все остальные векторы по линейности.

См. также

• Индекс Маслова
• Симплектическая группа
• Симплектическое многообразие
• Контактная структура

• Гамильтонова механика
• Фазовое пространство
• Уравнения Гамильтона

Литература

• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. Ижевск: РХД, 2000. - 168с.

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — Москва: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5

• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М., Изд. МГУ, 1988. – 414с.