Классификация Пуанкаре

В теории динамических систем, теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа вращения ρ(f) итерируемого отображения f. Грубо говоря, оказывается, что динамика итераций отображения в определённой степени похожа на динамику поворота на соответствующий угол.

А именно, пусть задан гомеоморфизм окружности f. Тогда:

1) Число вращения рационально тогда и только тогда, когда у f есть периодические точки. При этом знаменатель числа вращения это период любой периодической точки, а циклический порядок на окружности точек любой периодической орбиты такой же, как и у точек орбиты поворота на ρ(f). Далее, любая траектория стремится к некоторой периодической как в прямом, так и в обратном времени (α- и ω-предельные траектории при этом могут быть разными).

2) Если число вращения f иррационально, то возможны два варианта:

i) Либо у f есть плотная орбита, и тогда гомеоморфизм f сопряжён повороту на ρ(f). В этом случае все орбиты f плотны (поскольку это верно для иррационального поворота)

ii) Либо у f есть канторово инвариантное множество C, являющееся единственным минимальным множеством системы. В этом случае все траектории стремятся к C как в прямом, так и в обратном времени. Кроме того, отображение f полусопряжено повороту на ρ(f): для некоторого отображения h степени 1,

$h\circ f = R_{\rho(f)} \circ h.$

При этом множество C в точности является множеством точек роста h — иными словами, с топологической точки зрения, h схопывает интервалы дополнения до C.

См. также

• Теорема Данжуа
• Пример Данжуа
• Языки Арнольда

Ссылки

• А .Каток, Б. Хассельблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, 1999.