- Число вращения
-
В теории динамических систем, области математики, число вращения сохраняющего ориентацию гомеоморфизма окружности — среднее "число оборотов за одну итерацию" при длительном итерировании точки. Более точно, это предел отношения (некоторым образом определённого) "числа оборотов" к количеству итераций.
Определение
Для формального определения, вместо гомеоморфизма окружности
рассматривают его поднятие
для накрытия окружности прямой
. Число сдвига этого поднятия определяется как предел
где
— произвольная точка. Число вращения f тогда определяется как
.
Свойства
- Число вращения является инвариантом сохраняющего ориентацию топологического сопряжения, и даже полусопряжения отображениями степени 1: если
— отображение степени 1, такое, что
, где
— гомеоморфизмы окружности, то числа вращения
и
совпадают.
- Как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально тогда и только тогда, когда у отображения есть периодическая точка.
- Теорема Данжуа утверждает, что, если отображение
— C2-гладкое, а его число вращения
иррационально, то
сопряжено повороту на
.
- Число вращения непрерывно зависит от гомеоморфизма — отображение
непрерывно.
Литература
- А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9
Категория:- Динамические системы
Wikimedia Foundation. 2010.