ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ


ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ

       
физическая теория, рассматривающая пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физ. процессов. Универсальность пространственно-временных св-в, рассматриваемых О. т., позволяет говорить о них просто как о .св-вах пространства-времени. Наиболее общая теория пространства-времени наз. общей теорией относительности (ОТО) или теорией тяготения, т. к. согласно этой теории св-ва пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. В излагаемой ниже частной теории относительности, основы к-рой были даны А. Эйнштейном в 1905, изучаются св-ва пространства-времени, справедливые с той точностью, с какой можно пренебрегать действием тяготения. Т. о., логически частная О. т. есть частный случай ОТО; исторически построение ОТО было завершено Эйнштейном позже (в 1915), после чего и появился термин «частная О. т.». В рус. литературе последняя наз. также специальной О. <т. (что соответствует букв. переводу нем. слова speziell —.специальный, частный) или просто О. т.
Основные черты О. т. Явления, описываемые О. т., наз. релятивистскими (от лат. relativus — относительный) и проявляются при скоростях движения тел, близких к скорости света в вакууме с=2,99792458(1,2)X 1010 см/с. При таких скоростях (их принято называть релятивистскими) зависимость энергии ? тела от его скорости v описывается уже не ф-лой классич. механики
?кин = mv2/2, а релятив. ф-лой
?=mc2/?(1-v2/с2 ). (1) Масса т, входящая в эту ф-лу, наз. также массой покоя тела. Из (1) видно, что энергия тела стремится к бесконечности при v ®с, поэтому, если m?0, скорость тела всегда меньше с, хотя при ?->mс2 она может стать сколь угодно близкой к ней. Это наблюдается, напр., в опытах на ускорителях заряж. ч-ц, в к-рых ч-цам сообщаются энергии, много большие mc2, и они поэтому движутся со скоростью, практически равной с. Со скоростью света всегда движутся ч-цы, масса покоя к-рых равна нулю (фотоны, возможно, нейтрино). Скорость с явл. предельной скоростью передачи любых вэ-ствий и сигналов из одной точки пр-ва в другую.
Существование предельной скорости означает необходимость глубокого изменения обычных пространственно-временных представлений, основанных на повседневном опыте. Рассмотрим след. мысленный опыт. В вагоне, движущемся со скоростью v относительно полотна железной дороги, посылается световой сигнал в направлении движения. Скорость сигнала для наблюдателя в вагоне равна с. Если бы длины и промежутки времени, измеряемые любым наблюдателем, были одинаковы, то выполнялся бы закон сложения скоростей классич. механики, и для наблюдателя, стоящего у железнодорожного полотна, скорость сигнала была бы равна c+v, т. е. больше предельной. Противоречие устраняется тем, что для наблюдателя, относительно к-рого физ. система движется со скоростью v, все процессы в этой системе замедляются в 1/?(1-v2/c2) раз (это явление наз. замедлением времени), а продольные (вдоль движения) размеры тел во столько же раз сокращаются, и события, одновременные для одного наблюдателя, оказываются неодновременными для другого, движущегося относительно первого (т. н. о т н о с и т е л ь н о с т ь о д н о в р е м е н н о с т и). Учёт этих эффектов приводит к закону сложения скоростей, при к-ром предельная скорость одинакова для всех наблюдателей (см. ниже).
Характерное для О. т. явление замедления времени наблюдается при распадах нестабильных элем. ч-ц косм. лучей или получаемых с помощью ускорителей высоких энергий. Такие ч-цы движутся со скоростями, близкими к с, и, с точки зрения земного наблюдателя, их времена жизни, а следовательно, и проходимые ими от рождения до распада расстояния увеличиваются в тысячи и десятки тысяч раз.
Из релятив. ф-лы для энергии следует, что при малых скоростях (v<- с) энергия . тела равна: ?=mc2+mv2/2. Второй член справа есть обычная кинетич. энергия, первый же член показывает, что покоящееся тело обладает запасом энергии ?0=mc2, наз. э н е р г и е й п о к о я (т. н. принцип эквивалентности энергии и массы, или принцип эквивалентности Эйнштейна). В яд. реакциях и процессах превращений элем. ч-ц значит. часть энергии покоя может переходить в кинетич. энергию ч-ц. Так, источником энергии, излучаемой Солнцем, явл. превращение четырёх протонов в ядро гелия; масса ядра гелия меньше массы четырёх протонов на 5•10-26 г, поэтому при каждом таком превращении выделяется 4,5•10-5 эрг энергии, уносимой излучением. За счёт излучения Солнце теряет в 1 с 4•109кг своей массы.
О. т. подтверждена обширной совокупностью фактов и лежит в основе всех совр. теорий, рассматривающих явления при релятив. скоростях.
Принцип относительности и другие принципы инвариантности. Возникновение частной О. т. В основе О. т. лежит принцип относительности, согласно к-рому в физ. системе, приведённой в состояние свободного равномерного и прямолинейного движения относительно системы, условно наз. «покоящейся», для наблюдателя, движущегося вместе с системой, все процессы происходят в точности так же, как в покоящейся системе. Этот факт формулируют в виде утверждения об инвариантности законов природы относительно преобразований движения. Термин «принцип относительности» связан с тем, что если преобразованию движения подвергнуть систему движущихся тел, то все относительные движения этих тел останутся неизменными.
Наряду с принципом относительности из опыта известны и др. принципы инвариантности, или симметрии, законов природы. Любой физ. процесс происходит точно так же,
1) если осуществить его в любой др. точке пр-ва; эта симметрия выражает равноправие всех точек пр-ва, однородность пр-ва;
2) если систему, в к-рой происходит процесс, повернуть на произвольный угол; эта симметрия выражает равноправие всех направлений в пр-ве, изотропию пр-ва; 3) если повторить процесс через нек-рый произвольный промежуток времени; эта симметрия выражает однородность времени.
Т. о., имеет место инвариантность законов природы по отношению к четырём типам преобразований: 1) переносу в пр-ве,
2) вращению в пр-ве,
3) сдвигу во времени,
4) преобразованию движения.
Симметрии 1—4 выполняются точно только в изолированной от внеш. воздействий системе, т. е. если можно пренебречь воздействием на систему внеш. факторов; для реальных систем они справедливы лишь приближённо.
Изучение св-в преобразований 1, 2 составляет предмет евклидовой геометрии трёхмерного пр-ва, если рассматривать её как физ. теорию, описывающую св-ва физ. объектов (при этом под переносом следует понимать преобразование параллельного переноса).
При скоростях тел v, сравнимых с с, обнаруживается тесная связь и матем. аналогия между преобразованиями 1, 3 и 2, 4. Это даёт основание говорить об О. т., в к-рой все преобразования 1—4 следует рассматривать совместно, как о геометрии пространства-времени. Содержанием О. т. явл. рассмотрение св-в преобразований 1—4 и следствий из соответствующих принципов инвариантности. Математически О. т. явл. обобщением геометрии Евклида — геометрией четырёхмерного Минковского пространства-времени.
Принцип относительности был известен (и справедлив) в классич. механике, но св-ва преобразований движения при v<- с и при v = с различны; при v<-с релятив. эффекты исчезают и преобразования движения переходят в преобразования Галилея, справедливые для классич. механики (см. ГАЛИЛЕЯ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ).
Осн. понятие О. т.— точечное событие, т. <е. нечто, происходящее в данной точке пр-ва в данный момент времени (напр., выстрел, распад элем. ч-цы). Это понятие явл. абстракцией — реальные события всегда имеют нек-рую протяжённость в пр-ве и во времени и могут рассматриваться как точечные только приближённо. Любой физ. процесс есть последовательность событий (С): C1, C2, . . ., Сn, . . . Справедливость симметрии 1—4 означает, что наряду с последовательностью (С) законы природы допускают существование бесконечного числа др. последовательностей (С), к-рые получаются из (С) соответствующим преобразованием и различаются положением событий в пр-ве и времени, но имеют одинаковую с (С) внутр. структуру. Напр., в случае симметрии 4 можно наглядно описать процесс (С) как происходящий в стоящем на земле самолёте, а процесс (С) как такой же процесс, происходящий в самолёте, летящем с пост. скоростью (относительно земли); разл. скоростям и направлениям движения соответствуют разл. последовательности (С). Преобразования, переводящие одну последовательность событий в другую, наз. активными (в отличие от п а с с и в н ы х преобразований, к-рые связывают координаты одного и того же события в двух системах координат; см. ниже). Совокупность всех возможных преобразований (1—4) с матем. точки зрения должны составлять группу; она наз. группой Пуанкаре. Преобразования группы Пуанкаре носят универс. хар-р: они действуют одинаково на события любого типа. Это позволяет считать, что они описывают св-ва пространства-времени, а не св-ва конкретных процессов. Преобразования Пуанкаре могут быть описаны разл. способами (так же, как можно описывать разл. способами движения в трёхмерном пр-ве); наиб. простое описание получается при использовании инерциальных систем отсчёта (и. с. о.) и связанных с ними часов. Роль и. с. о. в О. т. такая же, как роль прямоугольных декартовых координат в геометрии Евклида.
Осознание универс. справедливости принципа относительности для любых физ. явлений — результат сложного историч. развития. В 19 в. считалось, что принцип относительности справедлив только в механике, но несправедлив в оптике и в электродинамике, т. к. представлялось очевидным, что эл.-магн. волны (в т. ч. свет) — это волны в особой среде — эфире, заполняющем всё пр-во и определяющем привилегированную систему отсчёта, покоящуюся относительно эфира, в к-рой только и справедливы законы оптики и ур-ния электродинамики. Казалось очевидным, что в системе тел, движущейся относительно эфира, оптич. и эл.-магн. явления будут происходить иначе, чем в неподвижной, но все попытки обнаружить явление такого рода, предпринимавшиеся в 19 в. и в нач. 20 в., потерпели неудачу. Объяснение неудач искали, начиная с франц. физика О. Ж. Френеля, в динамике: используя конкретные динамич. законы, сформулированные в системе покоя эфира, показывали, что в данной системе тел эффекты, связанные с движением относительно эфира, компенсируются. Эта программа нашла известное завершение в работах голл. физика X. Лоренца и франц. математика А. Пуанкаре (1904—05), где было показано, что если принять лоренцовский вариант электродинамики эл-нов и предложенную Пуанкаре модель :эл-на, сжимаемого пост. давлением эфира, то компенсация будет точной и принцип относительности, понимаемый как невозможность обнаружения движения относительно эфира, выполняется. В 1905 в работе Пуанкаре были исследованы групповые св-ва преобразований движения и преобразований вращения с точки зрения наблюдателя, покоящегося относительно эфира. Переход к совр. точке зрения, согласно к-рой в абсолютно пустом пр-ве нельзя определить покоящуюся систему отсчёта и все связанные преобразованиями движения и . с. о. равноправны, был сделан Эйнштейном в 1905. В его работе была развита последоват. теория измерений времени и координат в и. с. о. и обнаружен относит. хар-р релятив. замедления времени и сокращения масштабов. Матем. аппарат теории в полной форме был развит нем. учёным Г. Минковским в 1908.
Инерциальные системы отсчёта. С той степенью точности, с какой св-ва данной области пространства-времени описываются частной О. т., можно ввести и. с. о., в к-рых описание пространственно-временных закономерностей О. т. принимает особенно простую форму. Под системой отсчёта в этом случае можно подразумевать жёсткую систему тв. тел (или её мысленное продолжение), по отношению к к-рой определяются положения событий, траектории тел и световых лучей. Любая система отсчета, движущаяся относительно данной и. с. о. равномерно и прямолинейно, без вращения, также будет инерциальной, а система отсчёта, вращающаяся или движущаяся ускоренно, уже не будет и. с. о. Таким образом, и. с. о. образуют выделенный класс систем отсчёта. В и. с. о. справедлив закон инерции, т. е. свободная ч-ца движется в и. с. о. прямолинейно и (при принятой синхронизации часов, см. ниже) равномерно. Требование выполнения закона инерции может быть принято как определение и. с. о. Первый закон Ньютона может рассматриваться при этом как утверждение о существовании таких систем отсчёта. Все и. с. о. равноправны, это равноправие явл. непосредств. выражением принципа относительности.
В области пространства-времени, в к-рой справедлива частная О. т., можно пользоваться и неинерц. системами отсчёта (так же, как можно пользоваться криволинейными координатами в геометрии Евклида), но при этом описание св-в пространства-времени оказывается более сложным.
В данной и. с. о. необходимо определить способ измерения времени и координат. В и. с. о. трёхмерная пространств. геометрия — евклидова, если прямые определить, напр., как траектории световых лучей, а расстояния измерять тв. масштабами. Поэтому в данной и. с. о. можно ввести декартовы прямоуг. координаты х, у, z. Для определения времени t события удобно представить, что в той точке, где оно произошло, находятся часы, покоящиеся в данной и. с. о. Если события происходят в разных точках А, В, то для сравнения их времён нужно синхронизировать часы в А и В, т. е. определить, что означает, что часы в А и В показывают одинаковое время. Обычное определение таково: пусть в момент tА по часам из А посылается сигнал в В, а в момент его прибытия в В посылается такой же сигнал из В в А ', если сигнал пришёл в Л в момент t'А , то принимается, что сигнал пришёл в 5 в момент tB=(tA+t'A)/2, и соотв. устанавливаются часы в В. При таком определении времена распространения сигнала из А в В и из В в А одинаковы и равны (T'А-TA)/2. Сигналами могут служить световые вспышки, звук. сигналы (если среда, в к-рой они распространяются, покоится по отношению к данной системе отсчёта), выстрелы из двух одинаковых орудий, установленных в А и В, и т. д., требуется лишь, чтобы условия передачи сигнала из А в A в и из В в А были одинаковыми. Целесообразность такого определения времени связана с тем, что в любой и. с. о. отсутствует к.-л. физически выделенное направление; описанная процедура синхронизации часов симметрична относительно А и В и поэтому не вносит анизотропии в способ описания. Отсутствие выделенного направления проявляется в том, что синхронизация любыми сигналами приводит к одному и тому же результату; к такому же результату приводит медленный (с v<-с) перенос часов из А в В. При практич. измерениях времён и координат используются многочисленные косвенные методы при условии, что они дают тот же результат, что и описанные выше процедуры. В любой другой и. с. о. координаты и время измеряются с помощью таких же масштабов и часов, синхронизируемых таким же способом. Заранее не очевидно, что времена, определённые таким методом в двух разл. и. с. о., будут одними и теми же, и они действительно оказываются различными. После того как синхронизация произведена, могут измеряться скорости ч-ц и сигналов в данной и. с. о., в частности скорость распространения световых сигналов. Скорость света в любой и. с. о. всегда равна с.
Преобразования Лоренца. Рассмотренные активные преобразования непосредственно связаны с пассивными преобразованиями, описывающими связь между координатами и временем данного события в двух разл. и. с. о. В силу принципа относительности безразлично, сообщить ли телу скорость V по отношению к данной и. с. о. L или перейти к системе отсчёта L', движущейся со скоростью V относительно L,— закон преобразования координат и времени должен быть одним и тем же.
В силу справедливости симметрии 1—4 преобразования, связывающие координаты и времена события х, у, z, t и x', у', z', t', измеренные в двух и. с. о. L и L', должны быть линейными. Из симметрии 1—4 и требования, чтобы преобразования составляли группу, можно получить вид этих преобразований. Если система отсчёта L' движется относительно L со скоростью V, то при надлежащем выборе осей координат и начал отсчёта времени в L и L' (оси х и х' направлены по V, оси у и y', z и z' соотв. параллельны, начала координат О и О' совпадают при t=0 и часы в L' установлены так, что при t=0 часы в О' показывают время t'=0) преобразования координат и времени имеют вид:
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ1
где с — параметр преобразования, имеющий смысл предельной скорости движения (равной скорости света в вакууме). Этот параметр может быть определён из любого эффекта О. т. (напр., из замедления времени распада быстрого p-мезона). Справедливость кинематики и динамики, основанных на преобразованиях (2), подтверждена неисчислимой совокупностью эксперим. фактов.
Преобразования Лоренца (2) вместе с преобразованиями вращения вокруг начала координат образуют г р у п п у Л о р е н ц а; добавление к ней сдвигов во времени t' =t+a и в пр-ве х'=х+b (где a, b — произвольные постоянные размерности времени и длины) даёт группу Пуанкаре.
Т. к. законы природы должны иметь одинаковую форму во всех и. с. о., они должны сохранять свой вид при преобразованиях Лоренца. Это требование наз. принципом (постулатом) р е л я т и в и с т с к о й и н в а р и а н т н о с т и, или л о р е н ц-и н в а р и а н т н о с т и (лоренц-ковариантности), законов природы.
Из преобразований Лоренца вытекает релятив. закон сложения скоростей. Если ч-ца или сигнал движется в L по оси х со скоростью v, то в момент t x=vt и в системе L' скорость ч-цы v' = x'lt' равна:
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ2
Из этой ф-лы видна осн. черта релятив. кинематики — независимость скорости света от движения источника. Действительно, если скорость света, испущенного покоящимся в нек-рой и. с. о. L источником, есть с, v=c, то из (3) получим, что в и. с. о. L' скорость света v' также равна с. Т. к. направление оси произвольно, то отсюда следует независимость скорости света от движения источника. Это св-во скорости света однозначно определяет вид преобразований Лоренца: постулировав независимость скорости света от движения источника, однородность пр-ва и времени и изотропию пр-ва, можно вывести преобразования Лоренца.
Из преобразований Лоренца легко получить осн. эффекты О. т.: относительность одновременности, замедление времени, сокращение продольных размеров движущихся тел. Действительно, события 1, 2, одновременные в одной и. с. о. L, t1=t2, оказываются неодновременными в другой и. с. о. L', t'2-t'1=(x1-x2)V!c2?(1-V2/c2)?0. Далее, когда часы, покоящиеся в L в точке x=0, показывают время t, то время t' по часам в L', пространственно совпадающим с часами в L в этот момент времени, есть
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ3
т. е., с точки зрения наблюдателя в L', часы в L отстают. В силу принципа относительности, с точки зрения наблюдателя в L', все процессы в L замедлены в такое же число раз.
Легко получить также, что размеры l всех тел, покоящихся в L, оказываются при измерении в L' сокращёнными в 1/?(1-V2/c2)раз в направлении V:
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ4
В частности, продольный диаметр сферы, движущейся со скоростью v относительно L, при измерении в L' будет в 1/?(1-v2/c2) раз короче, чем поперечный. (Заметим, что это сокращение не обнаружилось бы на мгновенной фотографии сферы: из-за разл. запаздывания световых сигналов, приходящих от разных точек сферы, её видимая форма остаётся прежней.)
Для и. с. о. пространственно-временные эффекты, определяемые преобразованиями Лоренца, относительны: с точки зрения наблюдателя в L, замедляются все процессы и сокращаются все продольные масштабы в L'. .Однако это утверждение несправедливо, если хотя бы одна из систем отсчёта неинерциальна. Если, напр., часы 1 перемещаются относительно L из А в В со скоростью v, а потом из В в А со скоростью -v, то часы 1 отстанут по сравнению с часами 2, покоящимися в A, в 1/?(1-v2/c2) раз; это можно обнаружить прямым сравнением, так что эффект абсолютен. Он должен иметь место для любого процесса; напр., близнец, совершивший путешествие со скоростью v, вернётся в 1/?(1-v2/с2) раз более молодым, чем его брат, остававшийся неподвижным в и. с. о. Это явление, получившее назв. парадокса близнецов, в действительности не содержит парадокса: система отсчёта, связанная с часами 1, не явл. инерциальной, т. е. эти часы испытывают ускорение при повороте в В по отношению к инерц. системе; поэтому часы 1 и 2 н е р а в н о п р а в н ы.
При малых скоростях v преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея х'=х-vt, y'=y, z' = z, t'=t, к-рые описывают связь между картинами разл. наблюдателей, известную из повседневного опыта: размеры предметов и длительность процессов одинаковы для всех наблюдателей.
Преобразования Пуанкаре оставляют инвариантной величину, наз. интервалом sAB между событиями А и В, к-рый определяется соотношением:
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ5
Математически инвариантность s аналогична инвариантности расстояния при преобразованиях движения в евклидовой геометрии. Величины ct, x, у, z можно рассматривать как четыре координаты события в четырёхмерном пространстве-времени Минковского: x0=ct. xl=x, x2=y, x3=z,
к-рые явл. компонентами четырёхмерного вектора.
С матем. точки зрения частная О. т. есть геометрия пространства-времени Минковского. (Если вместо х0 ввести мнимую координату x4=ix0=ict, то произвольное преобразование Пуанкаре можно записать в виде, полностью аналогичном ф-ле, описывающей вращения и сдвиги в трёхмерном пр-ве.) Вследствие того, что квадраты разностей временных и пространств. координат входят в (6) с разными знаками, знак s2 может быть различным, геометрия такого пр-ва отличается от евклидовой и наз. п с е в д о е в к л и д о в о й.
Законы сохранения в О. т. и релятивистская механика. В О. т., так же как в классич. механике, для замкнутой физ. системы сохраняется импульс р и энергия ?. Трёхмерный вектор импульса вместе с энергией образует четырёхмерный вектор энергии-импульса с компонентами ?/с, р. При преобразованиях Лоренца остаётся инвариантной величина
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ6
где т — масса покоя ч-цы. Из требований лоренц-инвариантиости следует, что зависимость энергии и импульса от скорости имеет вид:
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ7
Энергия и импульс ч-цы связаны соотношением p=?v/c2. Оно справедливо также для ч-цы с нулевой массой покоя; тогда v=c и р=?/с.
Обсуждалась возможность существования объектов, движущихся со скоростью, большей скорости света в вакууме (т. н. тахионов). Формально это не противоречит лоренц-пнварнантности, но приводит к серьёзный затруднениям с выполнением принципа причинности.
Масса покоя т не явл. сохраняющейся величиной. В частности, в процессах распадов и превращений элем. ч-ц сумма энергий и импульсов ч-ц сохраняется, а сумма масс покоя меняется. Так, в процессе аннигиляции позитрона и эл-на в два фотона, е++е-®2g, сумма масс покоя изменяется на 2mе (mе — масса покоя эл-на).
В системе отсчёта, в к-рой тело покоится (такая система отсчёта наз. с о б с т в е н н о й), его энергия (энергия покоя) есть ?0=mс2. Если тело, оставаясь в покое, изменяет своё состояние, получая энергию в виде излучения или тепла, то из релятив. закона сохранения энергии следует, что полученная телом энергия D? связана с увеличением его массы покоя соотношением D?=Dmс2. Величина ?0=mс2 определяет макс. величину энергии, к-рая может быть «извлечена» из данного тела в системе отсчёта, в к-рой оно покоится.
Для движущегося тела величина
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ8
определяет его кинетич. энергию. При v<-с (9) переходит в нерелятив. выражение ?кин=mv2/2, при этом импульс p=mv. Из определения ?кин следует, что для любого процесса в изолированной системе выполняется равенство:
D(S?кин) = -с2D(Sm). (10)
согласно к-рому увеличение кинетич. энергии пропорц. уменьшению суммы масс покоя. Это соотношение широко используется в яд. физике; оно позволяет предсказывать энерговыделение в яд. реакциях, если известны массы покоя участвующих в них ч-ц. Возможность протекания процессов, в к-рых происходит превращение энергии покоя в кинетич. энергию ч-ц, ограничена др. законами сохранения (напр., законом сохранения барионного заряда, запрещающим процесс превращения протона в позитрон и g-квант). Иногда вводят массу, определяемую как
mдвиж=m/?(1-v2/c2) (11)
При этом связь между импульсом и скоростью приобретает тот же вид, что и в ньютоновской механике: р=mдвижv. Так определ. масса отличается от энергии тела лишь множителем 1/с2. (В теор. физике часто выбирают ед. измерения, полагая с=1, тогда ?=m.)
Осн. ур-ния релятив. механики имеют такой же вид, как и второй закон Ньютона и ур-ние энергии, только вместо нерелятив. выражений для энергии и импульса используются выражения (8):
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ9
где F — сила, действующая на тело. Для заряж. ч-цы, движущейся в эл.-магн. поле, F есть Лоренца, сила.
О. т. и эксперимент. Предположения о точечных событиях (означающее локальность вз-ствий), о справедливости принципа относительности, однородности времени и однородности и изотропии пр-ва с неизбежностью приводят к О. т. При этом абстрактно допустим предельный случай, соответствующий с=?, однако такая возможность исключается экспериментом: доказано, что предельная скорость с есть скорость света в вакууме.
Каковы границы применимости О. т.? Отклонения от пространственно-временной геометрии О. т., связанные с гравитацией, наблюдаемы и рассчитываются в ОТО; никаких других ограничений применимости О. т. не обнаружено, хотя неоднократно высказывались предположения, что на очень малых расстояниях (напр., =10-17 см) понятие точечного события, а следовательно, и О. т. могут оказаться неприменимыми (см. КВАНТОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ). Совр. квант. теории фундам. вз-ствий (эл.-магн., слабого, сильного) целиком основаны на геометрии пространства-времени частной О. т. Из этих теорий с наиб. высокой точностью проверена квант. электродинамика лептонов, применимость к-рой установлена до расстояний 10-16 см. Отсюда следует, что по крайней мере до этих расстояний действует геометрия частной О. т. Неоднократно повторялись с высокой точностью классич. опыты, использовавшиеся для обоснования О. т. в первые десятилетия её существования (Майкельсона опыт и др.). Такого рода опыты сейчас представляют в основном историч. интерес, т. к. осн. массив подтверждений ОТО составляют данные, относящиеся к вз-ствиям релятив. элем. ч-ц, где справедливость кинематики частной О. т. проверена на обширном материале.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. . 1983.

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ

Содержание:

Введение
Группа Пуанкаре
Группа Лоренца
Аберрация света и видимая форма предметовв частной О. т.
Пространство скоростей
Векторы и тензоры в пространстве Минковского498 Спинорные представления группы Лоренца
Структура пространства Мнаковского
Релятивистская механика
Экспериментальные основания частной О. <т.

О. т. - теория, описывающая универс. пространственно-временныесвойства физ. процессов. Поскольку эти свойства справедливы для всех известныхв физике процессов и взаимодействий, об О. т. говорят просто как о физ. <теории пространства-времени.

Введение

Возникновение О. т. связано с неудаченобнаружить движение Земли относительно эфира.X. А. Лоренц (Н. A.Lorentz) и А. Пуанкаре (Н. Poincare) в 1904 - 05 смогли объяснить невозможностьобнаружения этого движения, оставаясь в рамках представления о выделенностисистемы координат, в к-рой эфир покоится. Совр. точка зрения, основаннаяна принципе относительности Эйнштейна, была сформулирована А. Эйнштейном(A. Einstein) в 1905; при этом было исключено понятие механич. эфира. Большойвклад в развитие матем. аппарата теории внёс в 1908 - 10 Г. Минковский(Н. Minkowski), к-рому принадлежит и интерпретация О. т. как геометриичетырёхмерного пространства-времени [1 - 4].
После появления теории тяготения Эйнштейна, <построение к-рой было начато Эйнштейном в 1907 и завершено X. Д. Гильбертом(Н. О. Hilbert) и Эйнштейном в 1915 (первое обобщающее изложение теориибыло дано Эйнштейном в 1916), и её эксперим. подтверждения стало ясно, <что свойства пространства-времени в данной области зависят от действующихв ней гравитац. полей (см. Тяготение). В О. т. рассматривается частныйслучай - свойства пространства-времени в областях, где полями тяготенияможно с желаемой точностью пренебречь; отсюда термин - частная, или специальная, <О. т. (последний термин возник в результате неудачного букв. перевода нем. <слова speziell - частный). Осн. понятие О. т. - событие, под к-рым понимаетсянечто происходящее в данный момент времени в данной точке пространства(напр., вспышка света или совпадение стрелки прибора с делением шкалы).Реальные события имеют конечную протяжённость в пространстве и времени, <поэтому понятие события в О. т. является идеализацией. Опыт показывает, <что применимость этой идеализации очень высока, вплоть до расстояний ~10-16 см и времён ~10-26 с.
Предполагается, что потенц. совокупностьсобытий образует четырёхмерный континуум. Каждое событие может быть охарактеризованотройкой действит. чисел, определяющей его пространств. положение, и ещёодним действит. числом, определяющим момент времени, в к-рый это событиепроисходит. Предполагается, что пространство-время непрерывно, т. е. любойтакой четвёрке чисел в нек-рой области числового пространства может бытьпоставлено в соответствие нек-рое событие и близким событиям отвечают близкиечетвёрки чисел.
Области пространства-времени, где справедливачастная О. т., характеризуются тем, что в них могут быть введены локально инерциальные системы отсчёта (и. с. о.), в к-рых свободные от внеш. <воздействий точечные тела и импульсы света движутся прямолинейно и равномерно. <В реальной Вселенной гравитац. поля глобально не устранимы и присутствуютвсюду. При наличии таких полей условия, требуемые для введения и. с. о.,не выполняются, в частности ни точечные тела, ни импульсы света не движутсяпрямолинейно. Однако в тех областях, где эти поля однородны, можно, в силу эквивалентности принципа, ввести падающие свободно и без вращениясистемы отсчёта, в к-рых эти поля исчезают. Такие системы отсчёта и являютсяинерциальными. Любая система отсчёта, движущаяся равномерно и без вращенияотносительно данной и. с. о., также является инерциальной. В и. с. о. справедливаевклидова геометрия для пространства. Утверждение о равномерности движенияпредполагает определённый выбор синхронизации часов в разных точках и. <с. о. (см. ниже).
Пример и. с. о. - система отсчёта, связаннаяс искусств. спутником Земли, стабилизированным относительно вращения спомощью гироскопа. В такой системе отсчёта не действуют ни гравитац. полеЗемли, ни поля Солнца и Галактики в той степени, в какой эти поля однородныв масштабе спутника. Если рассматривать систему отсчёта, связанную с Землёй, <то она уже не будет инерциальной как из-за вращения Земли, так и из-запоявления в ней собств. гравитац. поля Земли. Однако на расстояниях, большихпо сравнению с размерами области, где гравитац. поле Земли велико, но малыхпо сравнению с расстоянием до Солнца, систему отсчёта, связанную с Землёй, <можно считать инерциальной, т. к. Земля свободно падает в гравитац. полеСолнца.
Практически вопрос о том, можно ли даннуюсистему отсчёта считать инерциальной, зависит от характера производимогоопыта и требуемой точности. Так, при выполнении большинства оптич. опытовсистема, связанная с Землёй, может считаться инерциальной даже на поверхностиЗемли; то же относится к экспериментам в физике элементарных частиц. Сдр. стороны, камень, брошенный вблизи Земли, не движется прямолинейно иравномерно, и для него эта система отсчёта не инерциальна. Характернымпараметром, определяющим возможность введения и. с. о., является отношение 15029-4.jpgгде 15029-5.jpg - изменениегравитац. потенциала в рассматриваемой области. Напр., при измерении Доплераэффекта 15029-6.jpg в области измерения должно быть мало по сравнению с величиной v/c, где v - скорость источника, с - скорость света.
В области, где справедлива частная О. <т., можно ввести и неиперц. системы отсчёта, в к-рых свойства пространства-временинужно описывать с помощью аппарата общей теории относительности. В этомслучае условие применимости частной О. т. имеет вид 15029-7.jpg= 0, где 15029-8.jpg- тензор Римана ( кривизны тензор), или более точно 15029-9.jpg,где l1, l2 - характерные для данногоопыта длины. При условии 15029-10.jpg= 0 всегда можно ввести совокупность и. с. о. Если условие 15029-11.jpgпри линейном законе изменения 15029-12.jpgхарактеризует неинерциальность, к-рая может быть устранена переходом вдр. систему отсчёта, то мера отклонения 15029-13.jpgот нуля определяет, насколько пространство-время в данной области искривленонеустранимым образом.
Обычно под частной О. т. подразумеваютописание явлений с помощью и. с. о. После того как и. с. о. выбрана, необходимозадать метод определения в ней времён и координат событий. Т. к. в инерц. <системах в частной О. т. справедлива евклидова геометрия, то для определениякоординат событий можно пользоваться декартовыми координатами х12, х3, или х, у,z, где х, у, zизмеряются стандартным жёстким масштабом в ортогональнойдекартовой системе координат. Три координаты х, у, z объединяютсяв трёхмерный вектор r (или х). Время t в данной точке r измеряют любым механизмом, совершающим периодич. движение, т. <е. периодически возвращающимся в данную конфигурацию. Тогда число периодови есть время t. Предполагается, что часы во всех точках пространстваи во всех и. с. о. одинаковы. В совр. метрологии осн. единицы для измерениядлины и времени выбираются с помощью оптич. явлений (число световых волнстандартного излучателя и число атомных колебаний стандартного атома длязаданных переходов).
Для полного задания системы отсчёта необходимоопределить метод сравнения времён событий, происходящих в разных местах. <Опыт показывает, что в и. с. о. пространство изотропно; никаким опытомнельзя выделить физически предпочтительное направление. Естественно выбратьтакую синхронизацию часов, находящихся в разных точках A, В, чтобы не нарушалась эта изотропия. Стандартное определение в частнойО. т. таково. Пусть в момент t1 из точки . в точку В посылается сигнал (световой импульс, акустич. импульсв среде, находящейся в данной и. с. о., выстрел и т. д.). После прибытиясигнала в В идентичный сигнал посылается из В в А,где принимается в момент времени t2. Тогда, по определению, <время прибытия сигнала в В есть t = (tl +t2)/2; иначе говоря, предполагается, что времена распространениясигнала из А в В и из В в А одинаковы. Двасобытия считаются одновременными (синхронными) в данной и. с. о., есливремена t для них совпадают. Приведённые определения задают в даннойи. с. о. L пространственно-временную координату х, у, z,t. Хотя в действительности область, охватываемая данной и. с. о. L,конечна, удобно допустить идеализиров. ситуацию и предполагать, что всеперечисл. переменные меняются от -15029-14.jpgдо +15029-15.jpg.
Теоретически можно допустить Вселенную, <в к-рой массы и поля тяготения занимают малую область, а в осп. пространстведействует частная О. т., однако в реальной Вселенной эта возможность нереализована.

Группа Пуанкаре

В области применимости частной О. т. пространство-времяобладает высокой степенью симметрии: все физ. явления инвариантны относительнособств. преобразований Пуанкаре, оставляющих инвариантной метрику пространства-времени Минковского. Последняя определяется квадратом интервала s2,к-рый для двух событий с координатами х 1, yl,zl, t1 и х 2, y2,z2, t2 имеет вид:

s2 = c2(t1- t2)2 - (x1 - x2)2- (y1 - y2)2 - (z1- s2)2. (1)

Пространство-время с такой метрикой наз. Минковского пространством-временем.
Обычно используется сокращённая запись:вводятся четырёхмерный вектор х с компонентами 15029-16.jpg= 0, 1, 2, 3): x0 = ct, х 1= х,x2 = y, x3 = z, метрический тензор 15029-17.jpgк-рый диагоналей и имеет компоненты 15029-18.jpg15029-19.jpg[или 15029-20.jpg= diag (1, - 1, - 1, - 1)], и эйнштейновское правило суммирования, согласнок-рому по совпадающим верхнему и нижнему индексам всегда предполагаетсясуммирование (по греч. индексам суммирование проводится от 0 до 3). В такойзаписи

15029-21.jpg

Если рассматриваются преобразования Пуанкаре, <при к-рых любое событие А с координатами x, y, z,t переходит в событие В с координатами 15029-22.jpgто такие преобразования наз. активными.
Собств. преобразования Пуанкаре определяютсякак линейные преобразования вида

15029-23.jpg

непрерывно связанные с тождественным (единичным)преобразованием. Здесь 15029-24.jpg- матрица размерности 4 x 4,15029-25.jpg- произвольный 4-вектор. Из инвариантности s2 относительнопреобразований (3) следует

15029-26.jpg

и 15029-27.jpgИз условия непрерывной связи с единичным преобразованием 15029-28.jpg=15029-29.jpg где 15029-30.jpg- Кронекера символ 15029-31.jpg=diag (1, 1, 1, 1)], следует, что

15029-32.jpg

Инвариантность законов физики относительнопреобразований Пуанкаре означает, что если возможна последовательностьсобытий Е:15029-33.jpg15029-34.jpg...,15029-35.jpg..., где 15029-36.jpg- 4-координаты n -го события, то возможна и последовательность 15029-37.jpg15029-38.jpg15029-39.jpg...,15029-40.jpg..., где 15029-41.jpgи 15029-42.jpg связаныпреобразованием (3). Др. словами, законы физики таковы: если последовательность Е допустима и описывает нек-рый физ. процесс, то это же справедливои для последовательности 15029-43.jpgПодчеркнём, что координаты 15029-44.jpgи 15029-45.jpgизмеряютсяв одной и той же системе отсчёта; последовательности Е и 15029-46.jpg- это две разные последовательности событий, связанные активными преобразованиями, <но в то же время по своей внутр. структуре они неразличимы. Это, в частности, <означает, что если два события Е п, Еk совпадают, <то совпадают и события 15029-47.jpg15029-48.jpgСитуацияаналогична ситуации в геометрии Евклида, где группа активных преобразованийпространства переводит тело из одного положения в другое, не изменяя еговнутр. структуры.
Подвергнем теперь преобразованию Пуанкаресаму систему L, к-рая перейдёт в систему L' с такими же, <как в L, часами и масштабами. Т. к. измерение есть нек-рое событие, <соответствующее фиксации совпадений отсчёта часов и делений на линейкахс нек-рым событием в L, то условие сохранения совпадений означает, <что 4-координаты 15029-49.jpgсобытия 15029-50.jpgв L' и 4-координаты 15029-51.jpgсобытия Е i в L совпадают:15029-52.jpg
Если ввести преобразование, связывающеекоординаты события 15029-53.jpgв L' и координаты того же события в L -15029-54.jpg (такие преобразования наз. пассивными), то оно будет иметь вид

15029-55.jpg

где свойства 15029-56.jpgи 15029-57.jpg такиеже, как и для активного преобразования.
Преобразования Пуанкаре ( Р )образуют группу. Как известно, условия того, что нек-рая совокупность элементовобразует группу, следующие, а) Для любых двух элементов Р1 и Р2 определено произведение P1P2.В случае преобразований Пуанкаре (активных) произведение определяется какрезультат последоват. выполнения преобразования Р2 изатем Р1. Из условия 15029-58.jpg= 1 следует разрешимость (3) относительно 15029-59.jpgб) Операция умножения ассоциативна: Р1( Р2 Р3)= ( Р1 Р2) Р3. Для преобразованийПуанкаре ассоциативность очевидна, т. к. если Р3 переводитобъект А в B, Р2 - В в С и P1 - С в D, то, по определению, ( Р2 Р3 )переводит А в С и Р 1 - С в D; соответственно Р1( Р2 Р3) - А в D. Аналогично ( Р1 Р2) - В в D и ( Р 1 Р 23 такжепереводит А в D. в) Существует единица группы I такая, <что IP=PI=Р. Это выполняется, если 15029-60.jpg,15029-61.jpg = 0.г) Для любого Р существует обратное преобразование Р-1 такое, что РР-1 = Р -1 Р = I. Последнееочевидно, т. к. вследствие того, что 15029-62.jpg= 1, соотношение (3) может быть разрешено относительно 15029-63.jpg
Группа Пуанкаре содержит в качестве подгруппыгруппу сдвигов во времени и в пространстве. Физически это означает, чтов любой и. с. о. опыт, проведённый в др. время или в др. месте, даёт тотже результат (если установка изолирована от внеш. воздействий). Из группыПуанкаре можно выделить подгруппу трёхмерных вращений и сдвигов:

15029-64.jpg

где лат. буквами (i, k =1,2,3) обозначены пространств. индексы. Инвариантность относительно преобразований(7) означает, что в любой и. с. о. пространство однородно и изотропно.
Преобразования (3) содержат также преобразования, <наз. бустами. При таких преобразованиях покоящаяся в L точка ( х'=const) переходит в точку, движущуюся со скоростью v, а точка, <движущаяся в L со скоростью v', переходит в точку, движущуюсясо скоростью v", соответствующей релятивистскому закону сложенияскоростей (см. ниже). В отличие от подгруппы (7), бусты подгруппы не образуют. <Группа Пуанкаре содержит 10 независимых параметров. Коэф.15029-65.jpgили 15029-66.jpg с учётомусловия (4) содержит шесть независимых параметров, а четыре сдвига произвольны.
Инвариантность s2 относительнопреобразований группы Пуанкаре означает, в частности, инвариантность ур-ния s2 = 0. В свою очередь это означает инвариантность скоростисвета относительно всех преобразований, перечисленных выше (в действительности, <согласно частной О. т., со скоростью света движется любая безмассовая частица).В частности, скорость света не изменяется при движении источника. (Событием Е может служить испускание света движущимся источником.) Этот фактявляется одной из основных черт О. т.
Возможность реализации в L и L' последовательностей событий с одинаковыми координатами относительноэтих и. с. о. наз. принципом относительности Эйнштейна. Он означает, чтозаконы природы должны иметь одинаковый вид во всех и. с. о. Для наблюдателейв L и L' соответственно процессы Е и 15029-67.jpgвыглядят совершенно одинаково, это наиб. наглядно отражает утверждениео тождественности их внутр. структуры. Если не требовать выполнения условиянепрерывного перехода от матриц 15029-68.jpg15029-69.jpgк единичной I, то наряду с перечисленными выше преобразованиями, <приводящими к принципу относительности Эйнштейна, появятся также дискретные, <или несобственные, преобразования t15029-70.jpg- t (обращение времениr15029-71.jpg- r (пространственная инверсия). Инвариантность относительно этихпреобразований в природе нарушается слабым взаимодействием. Не соединяетсянепрерывно с I также преобразование 15029-72.jpgИнвариантность относительно такого преобразования имеет место, если дополнитьего заменой всех частиц на античастицы. Это является общим следствиемквантовой теории поля ( теорема-СРТ).

Группа Лоренца

Группой Лоренца (в математике её наз. собственнойгруппой Лоренца) наз. подгруппа группы Пуанкаре, образуемая преобразованиями(в случае пассивных преобразований) вида

15029-73.jpg

по-прежнему сохраняющая s2 и с матрицей 15029-74.jpgнепрерывно связанной с единичной матрицей I. Т. к. пространствоМинковского, образуемое точками 15029-75.jpgоднородно, то выделение начала координат в (8) не является ограничением. <Общий случай выбора преобразования (8) соответствует переходу к системеотсчёта, движущейся с пост. скоростью v и с осями, повёрнутыми произвольнымобразом. Очевидно, что он может быть сведён к след. последовательностипреобразований: 1) такому повороту исходной системы осей, чтобы ось х 1= х совпадала с направлением v; 2) переходу к системеотсчёта с осями х'. y', z', параллельными осям x, у, z системы L, движущейся со скоростью v;3) произвольному повороту осей x, y, z. Число параметровпреобразования равно при этом 6; это совпадает с тем, что матрица 15029-76.jpgудовлетворяет условию 15029-77.jpgматрица 4 x 4, det15029-78.jpg=1). Преобразования к параллельным осям, движущимся с произвольной скоростьюо, являющиеся пассивным аналогом бустов, не образуют подгруппы Лоренца, <но преобразования относительно фиксиров. направления движения образуют. <Выберем в качестве направления движения ось x1. В этомслучае координаты х2, x3 не преобразуются:(x2)' = x2, (x3)'= х 3. Выберем в (1) в качестве точки 1 начало координат. <Тогда условие инвариантности интервала будет иметь вид

s2 = (x0)2- (x1)2 - (x2)2- (x З)2 = (s')2

и s2 инвариантен относительно(8). В случае движения по оси х 1 условие инвариантностисводится к требованию инвариантности выражения ( х 0)2- (х 1)2 с очевидным решением:

15029-79.jpg15029-80.jpg

где 15029-81.jpg=v/c, и соответственно обратным преобразованием:15029-82.jpg15029-83.jpg

Множитель 15029-84.jpgимеет стандартное обозначение 15029-85.jpg(15029-86.jpg1). С точкизрения инвариантности s2,15029-87.jpgможет быть произвольным параметром, -1 < b< 1. При 15029-88.jpg= 1 возникает сингулярность, а затем преобразование становится мнимым, <что является одним из выражений недопустимости в частной О. т. скоростей, <больших скорости света.
Полагая в (10) ( х 1)'=0 (начало координат), имеем х 1- (v/c)x0=0, т. е. (т. к. х 0 = ct) v есть скорость движения L' относительно L.

Из ф-л (9) и (10) вытекают два осн. классич. <следствия частной О. т. При измерении в L длины стержня l, покоящегося в L', естественно считать его длиной в L разностькоординат концов, измеренных в одно и то же время в L. Тогда (пользуясьобозначениями х, у, z для координат) имеем для точек А, В стержня

15029-89.jpg

или

15029-90.jpg

где 15029-91.jpg (по определению) - длина покоящегося в L стержня, наз. его собственнойдлиной. Т. о., движущийся вдоль своей длины отрезок сокращается в 15029-92.jpgраз;это сокращение наз. сокращением Лоренца - Фитцджеральда. Соответственново столько же раз сокращаются все продольные (вдоль движения) размеры движущегосятела. Подчеркнём, что речь идёт именно об определённой процедуре измеренийи вопрос о видимой форме тела в частной О. т. нуждается в отд. рассмотрении. <Для равномерных прямолинейных движений эффект сокращения относителен; наблюдательв L' измерит при аналогичной ситуации сокращение масштаба в L. Однако это несправедливо для непрямолинейного движения. Представимсебе очень большое число стержней, уложенных кольцом внутри обода длины 15029-93.jpgТогда при l015029-94.jpgR. число стержней, к-рые могут быть уложены по ободу, равно 15029-95.jpgЕсли же стержни быстро скользят вдоль обода, то сокращение Лоренца - Фитцджеральдаприведёт к тому, что окажется возможным уложить 15029-96.jpgстержней. Т. о., сокращение Лоренца - Фитцджеральда есть нек-рое объективноесвойство геометрии пространства-времени Минковского (т. е. свойство пространства 15029-97.jpg,описываемое группой Пуанкаре).
Рассматривая часы, помещённые в L' в начале координат, получаем

15029-98.jpg

т. е. движущиеся часы с точки зрения наблюдателяв L отстают. Так же как и для длин, эффект симметричен: для наблюдателяв L' отстают часы в L. Симметрия связана с характером постановкиопыта; одни движущиеся часы сравниваются с покоящейся синхронизиров. цепочкойчасов в др. системе отсчёта. В случае, если часы движутся по замкнутойтраектории, эффект становится абсолютным. Если часы движутся в течениевремени Т из А в В, апотом обратно из . в А с той же скоростью, то с той точностью, с к-рой можно пренебречьвременем поворота и действием ускорения (а это всегда возможно, если . достаточно велико по сравнению с временем поворота), по часам наблюдателяв А пройдёт 2 Т единиц времени, а по двигавшимся часам 15029-99.jpg Этот эффект, часто называемый парадоксом близнецов, абсолютен. В действительностиникакого парадокса нет, поскольку система отсчёта, связанная с часами, <перестаёт быть инерциальной во время поворота.
Из инвариантности интервала следует, чтов общем случае движущиеся часы, проходящие за время dt расстояние dl, покажут величину интервала 15029-100.jpgпоскольку в сопровождающей их системе отсчёта они покоятся. Отсюда следует

15029-101.jpg

где dl - пройденный отрезок, или

15029-102.jpg

Соответственно время, измеренное часами, <движущимися по нек-рой траектории АВ, равно след. интегралу по траектории, <по к-рой движутся часы В:

15029-103.jpg

Этот же результат ложно записать в виде

15029-104.jpg

где интеграл берётся по траектории часов. <Из (15) видно, что движущиеся часы всегда отстают от неподвижных. Так жекак и в рассмотренном выше частном случае, справедливость (15) требует, <чтобы ускорения были достаточно малы и не оказывали действия на ход часов. <Из (9) следует закон сложения скоростей. Для частного случая, когда телодвижется в L' параллельно оси х со скоростью V', имеемдля скорости тела в L

15029-105.jpg

где v - скорость L' относительно L. Если рассматривать ф-лу (16) как активное преобразование, тоона описывает буст точки, имевшей первоначально скорость V'. Изэтой ф-лы сразу видна независимость скорости света от движения источника:при V' = с получаем V= с. Из неё также следует ф-лаФренеля частичного увлечения света источником. Если свет распространяетсяв среде с показателем преломления п, движущейся со скоростью v,то V' = с/п и для скорости света в лаб. системе L имеем

15029-106.jpg

Аберрация света и видимая форма предметовв частной О. т.

Пусть система L' (с осями, параллельнымиосям системы L) движется параллельно оси х системы L соскоростью v и пусть в L' движется импульс света под углом 15029-107.jpgк оси х'. Без ограничения общности можно считать, что импульс движетсяв плоскости х'у' и в момент t' =0находится в точке х = у' =0. Из преобразований Лоренца получаем 15029-108.jpgМоменту времени t' соответствует в L время

15029-109.jpg

и за это время импульс в L пройдётпуть l = ct. Отсюда для угла луча (соответствующего рассматриваемомуимпульсу света) с осью х и L получаем

15029-110.jpg

Т. о., движущийся наблюдатель видит объектв др. направлении, чем неподвижный наблюдатель.
Если объект наблюдается под малым телеснымуглом, то изображение предмета, видимое движущимся наблюдателем, сохраняетсвою форму, но оказывается повёрнутым; если наблюдатель в L видитпокоящийся в L' предмет под углом 15029-111.jpgто изображение, к-рое он получит на мгновенной фотографии, будет соответствоватьизображению в L' на снимке под углом 15029-112.jpgL' изображение, очевидно, не зависит от момента снимка). Действительно, <пусть импульсы света 1' и 2' в L' дают изображение в L' вмомент t'. Пусть S1 и S2- их положения в момент t в L. В системе L' имсоответствует разное время 15029-113.jpgи 15029-114.jpg15029-115.jpgКвадрат интервала между S1 и S2 равен

15029-116.jpg

где l' - трёхмерное расстояние между S1 и S2, равное 15029-117.jpgr' - расстояние между лучами 1' и 2'. Т. о., s2= -(r'}2. В системе L t1 = t2,фронт волны перпендикулярен к направлению лучей 1 и 2 и s2= - r2, где r - расстояние между лучами в L. Т. к. s - инвариант, то r2 = (r')2,что и доказывает сделанное выше утверждение. Более подробно вопрос о видимыхизображениях рассмотрен В. Вайскопфом (V. Weisskopf) и В. Риндлером (W.Rindler) в 1977. Это явление не противоречит, разумеется, сокращению масштабов, <описанному в предыдущем разделе, т. к. там речь шла о мгновенных измерениях, <здесь же решающую роль играет запаздывание импульсов, идущих от разныхточек тела.

Пространство скоростей

Пространством скоростей в частной О. т. <называется пространство, каждой точке к-рого соответствует частица, движущаясяс данной скоростью v, а квадрат расстояния 15029-118.jpgдля двух бесконечно близких точек Р, Q равен квадрату ихотносит. скорости, измеренной по часам в Р и Q. Первое утверждениепредполагает введение нек-рой системы отсчёта и в этом смысле координатно-зависимо, <второе имеет абс. смысл. Удобно ввести след. параметризацию. Для коллинеарныхскоростей, как следует из преобразований Лоренца, справедлив закон сложенияскоростей (здесь и ниже будем полагать с= 1, что приводит к существ. <упрощению ф-л):

15029-119.jpg

где vi - скорость точки1 относительно начала отсчёта 0, v2 - скорость точки2 относительно точки 1 и r02 - скорость точки 2 относительно0. Эта ф-ла была получена выше для движения частицы по оси х, но, <очевидно, справедлива всегда, если движение происходит по одной прямой. <Введём параметр 15029-120.jpgтакой, что 15029-121.jpgТогда (18) принимает вид

15029-122.jpg

т. е., в отличие от скорости, параметр 15029-123.jpgаддитивен:

15029-124.jpg

При 15029-125.jpgоткуда следует, что если в пространстве скоростей ввести в качестве радиальнойкоординаты параметр 15029-126.jpgто для двух точек, движущихся в одном направлении, квадрат расстояния впространстве скоростей равен

15029-127.jpg

Для точек Р и Q, движущихсяс равными по модулю скоростями, образующими угол 15029-128.jpg,расстояние между ними, если они движутся из одной точки, растёт как 15029-129.jpgво времени покоящейся системы отсчёта. Т. к. dt связано с собств. <временем 15029-130.jpgдля Р, Q соотношением 15029-131.jpgто 15029-132.jpg
Очевидно, что относит. скорость не зависитот нач. условия (совпадения Р и Q).
В бесконечно малой окрестности точки . пространства скоростей действует закон параллелограмма скоростей Ньютона. <Поэтому 15029-133.jpgи, следовательно, в случае движения в заданной плоскости

15029-134.jpg

Как известно, такая метрика есть метрикаплоскости Лобачевского. Это - двумерное пространство с постоянной гауссовойкривизной К = -1.
Аналогично, трёхмерному случаю соответствуеттрёхмерное пространство Лобачевского. В пространстве Лобачевского, какво всяком пространстве с заданной метрикой, можно ввести параллельный перенос. Геодезические линии, образуемые параллельным переносом, по определению, <есть прямые в этом пространстве. Т. к. в любой его точке в малой окрестностидействует ньютонов закон сложения скоростей, то в этой окрестности параллельныйперенос означает сохранение направления скорости, а если переносится какой-тодр. вектор, то он должен сохранять угол с направлением скорости. В частности, <параллельному переносу из О в А ( В )координатных осейсоответствует чисто лоренцево преобразование (без вращения) к системе отсчёта, <движущейся со скоростью v1(v2) (рис.1). Параллельный перенос вдоль геодезической АВ даёт чисто лоренцевопреобразование от А к В. При этом из-за кривизны пространствасистема, полученная последовательностью переходов ОА, АВ, повёрнута(на угол 15029-135.jpg )относительно системы, полученной переходом ОБ. Это отражает тотфакт, что чисто лоренцевы преобразования не образуют группы. Аналогичноможно убедиться, что они не коммутируют между собой.

15029-136.jpg

Рис. 1. Система у'х' полученаиз ух параллельным переносом по АВ.

Неевклидовость пространства скоростей непосредственноответственна за явление, наз. томасовской прецессией [Л. Томас (L. Thomas),1926]. Если физически реализованный вектор - ось гироскопа или спин частицы- связан с системой, движущейся ускоренно, а рассматриваемый вектор неиспытывает воздействия к.-л. сил, то он переносится параллельно вдоль годографаскорости, и т. к. пространство имеет кривизну, он прецессирует. Для вычисленияэтой прецессии удобно ввести сопутствующую систему координат, получающуюсяпараллельным переносом из О в Р. При движении из Р в Р' вектор переносится параллельно и по отношению к сопутствующимосям оказывается повёрнутым на угол 15029-137.jpg= KSOPP', где К = -1, SOPP' - площадь ОРР', что даёт

15029-138.jpg

В случае движения по окружности, когда 15029-139.jpg=const, для угл. скорости томасовской прецессии имеем

15029-140.jpg

где 15029-141.jpg- угл. частота. В нерелятивистском пределе 15029-142.jpgЭто выражение используется при расчёте тонкой структуры в атомной физике.
С помощью аппарата четырёхмерных векторов, <описанного в след. разделе, легко получить для относит. скорости v12 точек, движущихся со скоростями v1 и v2,образующими угол 15029-143.jpgф-лу

15029-144.jpg

или

15029-145.jpg

Ф-ла (24) является аналогом ф-лы косинусовсферич. тригонометрии для пространства Лобачевского.

Векторы и тензоры в пространстве Минковского

Для построения инвариантных и ковариантныхвыражений в частной О. т. используется тензорный аппарат в пространствеМинковского. Простейшей величиной, следующей за скаляром, является контравариантныйчетырёхмерный вектор. Таковым является, в частности, 4-вектор 15029-146.jpgс компонентами х0 = t, x1 = x, x2= у, х 3= z. Закон преобразования для него заданф-лами (8). Произвольный 4-вектор 15029-147.jpg,преобразующийся по ф-лам (8), наз. контравариантным. Квадрат его длины 15029-148.jpgявляется инвариантной величиной.
Матрицы 15029-149.jpgи 15029-150.jpg связанысоотношением

15029-151.jpg

где 15029-152.jpg

Наряду с контравариантными компонентамивектора 15029-153.jpgможно ввести ковариантные (часто говорят просто о ковариантных векторах)15029-154.jpgДля любых 4-векторов А, В можно определить скалярное произведение

15029-155.jpg

инвариантное относительно преобразованийЛоренца. Произвольный тензор 15029-156.jpgранга п + m с п контравариантными и m ковариантнымииндексами определяется законом преобразования:

15029-157.jpg

Из определения 15029-158.jpgследует, что он является инвариантным [переходящим сам в себя при преобразовании(27)] тензором второго ранга (то же относится к 15029-159.jpg).
Из свойств преобразований Лоренца следует, <что ранг тензора 15029-160.jpgможет быть понижен на 2:15029-161.jpgсвёртыванием (суммированием) по произвольной паре верхних и нижних индексов.
Примерами 4-векторов являются 4-импульссистемы 15029-162.jpg4-потенциал эл.-магн. поля 15029-163.jpgи др. Четырёхмерные векторы классифицируются по их поведению относительнонесобств. преобразований Лоренца: полярные векторы меняют знак пространственныхкомпонент, а временная компонента не изменяется; аксиальные векторы ведутсебя противоположным образом. Аналогичная классификация применяется и поотношению к величинам, инвариантным относительно преобразований Лоренца:они делятся на скаляры и псевдоскаляры.
Примером тензоров может служить тензорэнергии-импульса 15029-164.jpgи тензор эл.-магн. поля 15029-165.jpg.Тензоры второго ранга 15029-166.jpgмогут быть симметричными и антисимметричными, для к-рых соответственно 15029-167.jpgТензор 15029-168.jpgявляется примером тензора первого типа,15029-169.jpg- второго.
Рассматривая кинематику точки, движущейсяпо произвольной траектории под действием внеш. сил, удобно ввести в качествепараметра точки Р величину 15029-170.jpgгде интеграл берётся по траектории частицы от произвольной точки А,тогда 15029-171.jpgВ том случае первая производная по s даёт вектор четырёхмерной скорости

15029-172.jpg

Т. к.15029-173.jpgто

15029-174.jpgi = 1,2,3,15029-175.jpg

Учитывая, что 15029-176.jpgи деля это выражение

на ds2, получаем

15029-177.jpg

Т. о., квадрат длины 15029-178.jpgравен 1. Инвариантное ускорение определяется как

15029-179.jpg

Из (31) следует, что

15029-180.jpg

т. е. четырёхмерное ускорение ортогональнок 4-скорости.
Операции дифференцирования и интегрированияв частной О. т. могут быть представлены в ковариантном виде. Взятие частнойпроизводной по 15029-181.jpgповышает ранг тензора на единицу с появлением ковариантного индекса 15029-182.jpg (простейший пример - вектор 15029-184.jpgгде 15029-183.jpg- скаляр).
В четырёхмерном мире Минковского возможныодномерные многообразия - линии, двумерные - поверхности, трёхмерные -гиперповерхности и четырёхмерные - объёмы. По всем ним могут производитьсяоперации интегрирования. Инвариантная форма интеграла по линии может иметьвид 15029-186.jpgили 15029-185.jpg
Элементом двумерной поверхности являетсятензор 15029-187.jpg-15029-188.jpg соответственноинвариантный интеграл возникает при интегрировании с антисимметричным тензором. <Элемент гиперповерхности, построенный на 4-векторах dx(1), dx(2), dx(3 )(где числа в скобках нумеруют 4-векторы), имеет вид детерминанта

15029-189.jpg

и является тензором третьего ранга. В этомслучае удобно ввести полностью антисимметричный тензор 15029-190.jpgтакой, что 15029-191.jpg= 1, а при каждой перестановке индексов знак меняется. Этот тензор инвариантенпри собственных преобразованиях Лоренца (но меняет знак при замене t15029-192.jpg- t или r15029-193.jpg- r). С его помощью объёму гиперповерхности можно поставить в соответствиевектор 15029-194.jpgДля случая, когда гиперповерхность - пространственная область с t =0, у 15029-195.jpgотлична от нуля только компонента ds0, а если dx(1),dx(2), dx(3 )направлены по осям х, у,z, то

ds0 =dxdydz = dxldx2dx3,

т. е. ds0 равна элементутрёхмерного объёма. Элемент четырёхмерного объёма может быть представленв виде 15029-196.jpgлибо 15029-197.jpg= dx0 dx1 dx2 dx3, т. <е. он является четырёхмерным скаляром. Так же как в трёхмерном пространстве, <в четырёхмерном пространстве существуют теоремы Гаусса и Стокса, напр.

15029-198.jpg

Спинорные представления группы Лоренца

Из 4-вектора х 0, х1, х 2, х 3 можно составить эрмитову матрицу

15029-199.jpg

Детерминант этой матрицы представляет собойинтервал (x0)2 - (х 1)2-( х 2)2- ( х 3)2. Еслиумножить М справа на произвольную унимодуляриую матрицу (матрицус детерминантом единица) К, а слева на эрмитово сопряжённую . матрицу К + ( М' = K+ МК), то очевидно, что этопреобразование сохраняет как эрмитовость, так и детерминант матрицы М. Действительно, ( М')+ = (К + МК)+= К + МК = М',det М' = det К+det Мdet К = detМ.
Т. о., если записать матрицу М' ввиде

15029-200.jpg

то получим s2 = (s')2,т. е. преобразование, принадлежащее группе Лоренца. Очевидно, что так построенныепреобразования образуют группу. Можно показать, что каждому собств. преобразованиюЛоренца соответствуют две и только две матрицы К, отличающиеся лишьзнаком. Возможность найти для каждого преобразования Лоренца подходящуюматрицу К следует, по существу, из того, что унимодулярная матрицазависит от стольких же параметров, что и группа Лоренца, а неоднозначностьв знаке матрицы К очевидна. Если ввести двух-компонентную величину 15029-201.jpgпреобразующуюсяпри преобразованиях Лоренца с помощью матрицы К, то получится новыйвид представления группы Лоренца - спинорный. Он возникает естественнопри построении Дирака уравнения, описывающего частицы со спином 1/2 в квантовой теории поля.

Структура пространства Минковского

Из ф-л (9) и (10) следует, что в частнойО. т. время события не является абс. величиной: события, происходящие вразных точках, будут иметь разные времена в различных и. с. о., даже еслиони были одновременны в исходной системе отсчёта. Если |x А- x В|>|t А - t В|,(33) то временной порядок событий А, В может меняться припереходе от системы L к системе L'. В этом нет логич. противоречия, <если скорость света является предельной для распространения сигналов ивзаимодействии, т. к. тогда при выполнении условия (33) события А и В не могут быть причинно связаны. Напротив, если | х А- х В|15029-202.jpg|tA- tB|, возможна причинная связь между А и В, нов этом случае порядок событий не меняется. (Однако если бы существоваличастицы, движущиеся со скоростью, большей скорости света, - т. н. тахионы, то порядок причинно связанных событий мог бы быть разным в разных системахотсчёта. Это приводило бы к серьёзным затруднениям с причинностью, т. к. <наблюдатель в L' мог бы "уничтожить" событие А, к-рое в . порождает событие В, и причинная связь нарушилась бы. Попыткипереинтерпретпровать теорию тахионов так, чтобы она стала непротиворечивой, <не привели к успеху.)
Невозможность движения сигналов со скоростью, <большей скорости света, не означает, что в частной О. т. вообще невозможныдвижения со сверхсветовой скоростью. Такие движения могут быть реализованы, <напр., как движение "зайчика" от прожектора, но в этом случае взаимодействиеи причинная связь между разными точками траектории "зайчика" отсутствуют.
Инвариантная запись (33), справедливаяв любой системе отсчёта, имеет вид 15029-203.jpgТакие интервалы наз. пространственноподобными. В подходящей системе отсчётасоответствующий им 4-вектор АВ может быть представлен в виде (0,r). Условие 15029-204.jpgопределяет времениподобные интервалы; соответствующий вектор может бытьпредставлен в виде (t,0), и время t - это время, отсчитанноечасами, движущимися по прямой АВ. Ур-ние s2 = 0 соответствуетпрямой, являющейся траекторией светового луча или любой безмассовой частицы. <Относительно любой точки О трёхмерное многообразие, наз. световымконусом или световой гиперповерхностью, на к-рой лежат все световыелучи, проходящие через О, разбивает пространство на две области:

15029-205.jpg

15029-206.jpg

Если принять О за начало отсчёта, <то в силу того, что собств. преобразования Лоренца не меняют направлениявремени внутри светового конуса и на нём самом (34а), световой конус изаключённый внутри него объём можно разбить на части, соответствующие .t <0, наз. верхней и нижней полами. Часть <0,15029-207.jpg, соответствует событиям, на к-рые О может оказать причинное воздействие, <или точкам, в к-рые может прийти сигнал из О; это абс. будущее для О. Соответственно, события, относящиеся к нижней поле, - совокупностьвсех событий, к-рые О может увидеть, или тех, к-рые могут оказатьна неё причинное действие. Т. о., эта пола - абс. прошлое для О. Всетраектории тел и лучей, приходящих в О, должны принадлежать нижнейполе t< 0,15029-208.jpgСоответственно, все лучи света и траектории тел, выходящих из О,принадлежат верхней поле и образуют абс. будущее для О.
Совокупность точек, связанных с О векторами(0, х, у, z) в системе отсчёта L, где точкипо оси времени имеют вид (t,0), т. е. в системе, где ось временипроходит через О, очевидно, соответствует гиперповерхности, ортогональнойк оси времени в метрике Минковского. Она состоит из событий, одновременныхс О и образующих трёхмерное евклидово пространство. Такое пространствоможно построить для любой точки на осп времени. Телам, покоящимся в этомпространстве, отвечают прямые мировые линии, параллельные оси времени.
Траектории любого тела, движущегося прямолинейнои равномерно в системе L и проходящего через О при t=0, можио принять за временную ось системы отсчёта L', связаннойс L преобразованием Лоренца. Единичный вектор et, направленный по оси времени, всегда удовлетворяет инвариантному условию

15029-209.jpg

Для оси t он имеет вид (1, 0, 0,0), а произвольный вектор, направленный по этой оси, есть tet= (t,0, 0, 0). Для оси t' единичный вектор е't равен 15029-210.jpgскомпонентами 15029-211.jpgсоответственно, произвольный вектор, направленный по t', имеет вид t'u = (t'15029-212.jpg,t'15029-213.jpg). Совокупность всех векторов, ортогональных оси t' в заданнойточке, образует пространство системы L', и события, лежащие в нём. <одновременны в L'. Если в данной точке t' в этом пространствепостроить оси х', y', z', то они образуют полный набор координатв L'. Ось х' можно поместить в плоскость tt' (рис.2), тогда единичный вектор, направленный по x', будет иметь вид е' х (15029-214.jpg15029-215.jpg0,0); в метрике Минковского он ортогонален е' х.
Отсюда сразу вытекают эффекты измененияинтервалов времени и пространства при переходе от L к L'. Промежутоквремени 15029-216.jpgt' в L' имеет временную компоненту в L, равную временнойкомпоненте вектора 15029-217.jpgt'е't,что даёт 15029-218.jpgили 15029-219.jpg

15029-220.jpg15029-221.jpg

Соответственно, чисто пространственныйотрезок АВ длины l0 в L описывает в миреМинковского полосу, показанную на рис. 3; точки пересечения её границ сосью х' одновременны с точки зрения L' и, следовательно, <определяют длину l отрезка АВ вдвижущейся сиcтеме. <Но l0 - это компонента вектора 15029-222.jpgпооси x, т. е.15029-223.jpgили 15029-224.jpg

Релятивистская механика

Для всех известных в частной О. т. классич. <полей и частиц ур-ния движения могут быть получены из условия равенстванулю вариации действия:

15029-225.jpg

Величина S являетсячетырёхмернымскаляром и может быть представлена в виде

15029-226.jpg

где L - плотность ф-ции Лагранжа(лагранжиан). Для свободной материальной точки массы m

15029-227.jpg

Условие экстремума даёт

15029-228.jpg

Величина 15029-229.jpgназ. 4-импульсом частицы.
Релятивистская инвариантность требуетинвариантности действия для замкнутой системы относительно группы Пуанкаре. <Инвариантность относительно подгруппы сдвигов приводит, в силу теоремыНётер, к четырём законам сохранения:

15029-230.jpg

конкретный вид тензора 15029-231.jpgопределяется видом L. Легко показать, что 15029-232.jpgвсегдаможет быть приведён к симметричному виду. Из (40) следует существованиечетырёх сохраняющихся величин:

15029-233.jpg

где интеграл берётся по трёхмерной гиперповерхности. <Величины 15029-234.jpgобразуют 4-импульс; компонента Р° - энергия системы, Р i(i=1, 2, 3) - компоненты её импульса. При интегрировании в (41) можновзять любую гиперплоскость или даже искривлённую пространственноподобнуюгиперповерхность, делящую мир Минковского на две части. Выбирая в качествегиперповерхности гиперплоскость х0= const, получаем

15029-235.jpg

и 15029-236.jpg

Вектор 15029-237.jpgвремениподобен, поэтому всегда можно систему отсчёта, в к-рой определеноинтегрирование в (42), выбрать так, что Р i =0. Эту системуназывают системой покоя для рассматриваемого тела. В ней, по определению,4-скорость тела равна (1,0). Введём массу тела, определив её в системепокоя как

15029-238.jpg

Отсюда следует, что в системе покоя

15029-239.jpg

В силу релятивистской инвариантности этосправедливо в любой системе отсчёта, если массу считать скаляром. Переходяв систему отсчёта, движущуюся со скоростью v, получаем

15029-240.jpg

т. е.

15029-241.jpg

Это соотношение справедливо и для безмассовыхчастиц, для к-рых v - единичный вектор. Случай m =0получаютпредельным переходом. В системе единиц с с 15029-242.jpg1 ф-лы (45), (46) принимают вид:

15029-243.jpg

Многие авторы, пытаясь сохранить ньютоновосоотношение между импульсом и энергией ( Р = mv), наз. величину 15029-244.jpgполной массой, релятивистской массой или просто массой и обозначают её т(v), т r или m, а обычную массу, к-раяв этой статье обозначается т, наз. массой покоя (обозначают m0).Т. о. в их обозначениях т = т r = m (v) =15029-245.jpgВведение m(v), однако, излишне, т. к. приводит к необходимости говоритьо двух законах сохранения: энергии и полной массы, тогда как второй изних есть просто закон сохранения энергии, поделённой на с 2. Кроме того, ф-лы (47) неприменимы к безмассовым частицам.
Для материальной точки состояние движенияоднозначно определяется вектором 15029-246.jpg,и 4-импульс (введённый описанным выше способом) равен 15029-247.jpgЕсли п первоначально изолированных друг от друга тел (систем) вступаютв нек-рой области пространства-времени во взаимодействие, после чего возникают п' новых тел, то, поскольку до взаимодействия полный 4-импульс 15029-248.jpgа после взаимодействия 15029-249.jpgгде Pin и Pout обозначают начальные(входящие) и конечные (выходящие) частицы, и поскольку полный импульс сохраняетсявсегда,

15029-250.jpg

В частности, для энергии имеем

15029-251.jpg

где r и f нумеруют входящиеи выходящие частицы.
В отличие от энергии сумма масс не сохраняется, <но полная масса замкнутой системы, разумеется, сохраняется в любом процессе. <Напр., в физике элементарных частиц хорошо известен процесс распада 15029-252.jpgНач. сумма масс есть просто 15029-253.jpgа конечная равна нулю. Если обозначить 15029-254.jpg4-пмпульс 15029-255.jpg,a k1, k2 -4-импульсы 15029-256.jpgи 15029-257.jpg,то 15029-258.jpgВ системе центра инерции двух 15029-259.jpg:15029-260.jpg, k1 = (15029-261.jpg,k),k2 = (15029-262.jpg,- k), |k|=15029-263.jpg,окончательно 15029-264.jpg15029-265.jpgИз (48) следует, что если покоящемуся телу сообщают энергию 15029-266.jpgто его масса возрастает на ту же величину,15029-267.jpg (предполагается, <что сообщаемый телу импульс равен нулю), н, наоборот, если тело теряетэнергию 15029-268.jpgоставаясь в покое, то его масса уменьшается на 15029-269.jpg
В нсрелятивистском пределе энергия 15029-270.jpgв (49) может быть записана в виде m + mv2/2 изакон сохранения энергии принимает вид

15029-271.jpg

Напр., в распаде урана его масса покоябольше сумм масс покоя осколков; разность масс выделяется в виде их кинетич. <энергий.
Из (39) следует, что для любого тела

15029-272.jpg

Использование 4-импульса существенно упрощаетрешение задач с релятивистской кинематикой. Так, при распаде частицы смассой т0 на частицы с массами т1, т2 получаем Р 0 = Р1 + Р 2 или Р0 - Р1 = Р2(52) Возводя в квадрат (52), получаем 15029-273.jpg
В системе покоя частицы с массой т 0 имеем (P0P1) =15029-274.jpgоткуда 15029-275.jpgи аналогично для 15029-276.jpg
Для системы, находящейся во внеш. поле,4-импульс не сохраняется. Для точечной частицы массы т закон егоизменения можно представить в виде

15029-277.jpg

где 15029-278.jpg- четырёхмерная внеш. сила. В электродинамике 15029-279.jpg (сила Лоренца) и ур-ние движения для частицы в поле имеет вид

15029-280.jpg

( е - электрич. заряд частицы).

Экспериментальные основания частнойО. т.

Первоначальной эксперим. основой частнойО. т. был ряд оптич. экспериментов, установивших отсутствие эффектов, связанныхс движением Земли относительно гипотетич. эфира в порядках v/c и(v/с)2 (последнее - в опыте Майкельсона - Морли в 1887;см. Майкельсона опыт). Именно основываясь на этих опытах, А. Пуанкарев 1895 высказал гипотезу, что постулат относительности точен во всех порядкахпо v/c. К 1905, когда Лоренц, Пуанкаре и Эйнштейн дали свои формулировкичастной О. т., отсутствие эффектов в порядке v/c нашло дополнит. <подтверждение в ряде опытов, но отсутствие эффектов в порядке (v/c)2 подтверждалось только опытом Майкельсона - Морли.
Постулат независимости скорости светаот движения источника подтверждения на опыте не имел; он был выдвинут Эйнштейномкак следствие справедливости электродинамики Лоренца в системе эфира ипринципа относительности, исходя из к-рого этот постулат переносится налюбые и. с. о.
Опыты Майкельсона - Морли неоднократноповторялись в 20-е гг. и неизменно давали отрицат. результат. С появлениеммазеров возникла возможность проверки отсутствия эффектов в порядке v/c в распространении света [Седерхольм (Y. P. Cederholm) и др., 1964].Достигнутая точность порядка 10-3.
Независимость скорости света от движенияисточника неоднократно проверялась, наиб. точно - в работе Т. Альвегера(Т. Alvager) с сотрудниками (1964). В этом опыте измерялась скорость фотоновот распада p0 -мезоновс энергией ок. 1 ГэВ, т. е. движущихся со скоростью, практически равной с. При этом скорость движущихся вперёд 15029-281.jpg -квантовсовпадала со скоростью света с точностью порядка 10-4.
В 1986 проверялась ф-ла релятивистскогоэффекта Доплера:

15029-282.jpg

Достигнутая точность для совпадения отношения 15029-283.jpgс теоретически предсказанной величиной [ф-ла (55)] составляет 1,00004(27),т. е. ~ 3 х 10-4. В принципе точность опыта может быть доведенадо 10-7.
Ставились опыты по проверке отд. следствийчастной О. т. Так, эффект замедления времени был проверен С. Росси (S.Rossi) с сотрудниками (1942) [III, 3] вплоть до 15029-284.jpg~10.Полученный результат, включая зависимость времени жизни от 15029-285.jpg,согласуется с предсказаниями О. т.
В ядерной физике проверялось соотношениемежду дефектом массы и выделяющейся в реакции энергией. В особо прецизионныхопытах Н. Смит (N. Smith, 1939) [III, 1] показал, что выделяющаяся энергиясоответствует дефекту массы с точностью ~0,01.
В совр. технике широко применяются такиеустройства, как электронно-лучевые трубки, электронные микроскопы и др.,в к-рых достигаются 15029-286.jpg1. Для расчёта таких устройств применяются ф-лы релятивистской механики, <и в этом смысле частная О. т. является такой же основой инженерных расчётов, <как механика Ньютона - основой для расчётов кораблей, самолётов, мо-

стов и др. "нерелятивистских" сооружений. <Наибольшие 15029-287.jpgдостигаютсяв совр. ускорителях заряж. частиц: для протонов 15029-288.jpg~ 103, для электронов 15029-289.jpg~ 105. При этом наглядно демонстрируется тот факт, что скоростьсвета является предельной для всех частиц: после того как 15029-290.jpgстановится больше 10, энергия частиц растёт, а скорость не изменяется, <становясь практически равной скорости света.
Одним из наиб. ярких релятивистских эффектов, <наблюдаемых на электронных циклич. ускорителях больших энергий (синхротронах),является релятивистский рост частоты синхротронного излучения; релятивистскиеэффекты приводят к тому, что частота синхротронного излучения имеет резкиймаксимум при 15029-291.jpg, где 15029-292.jpg- угл. частота движения электронов. Этот эффект хорошо наблюдается. Релятивистскоезамедление времени лежит в основе технологии получения вторичных пучковнестабильных частиц:15029-293.jpg,15029-294.jpg,15029-295.jpg,15029-296.jpgи др. Напр., в состоянии покоя 15029-297.jpg15029-298.jpg -гипероны живут соответственно 0,8 х 10-10 с и 1,5 х 10-10 с, но уже при 15029-299.jpg~10 они, двигаясь со скоростью v= с, имеют длины распада 24 сми 45 см, что делает возможным формирование 15029-300.jpg -пучков. <Ещё сильнее проявляется замедление времени в пучках 15029-301.jpg -мезонов, <где достигается 15029-302.jpg~103 и выше.
Точность релятивистской кинематики можнооценить по точности в определении масс нестабильных частиц (~ 10-4- 10-5.) Здесь производится проверка кинематики на самосогласованность, <поэтому приведённая ошибка в определении масс может рассматриваться какоценка точности релятивистской кинематики.
Геометрия Минковского лежит в основе совр. <теорий взаимодействия элементарных частиц - квантовой электродинамики (КЭД), квантовой хромодинамики и теории электрослабого взаимодействия, объединяющей КЭД и теорию слабого взаимодействия. Из перечисленныхтеорий лучше всего на опыте проверена КЭД, относительно к-рой из прямыхопытов известно, что она справедлива вплоть до расстоянии 10-16 см и соответственно времён ~10-26 с. Вплоть до таких расстоянийи времён действует, т. о., геометрия Минковского.

Лит.:1.Труды классиков:1) Принцип относительности, Г. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, Г. <Минковский. Сб. работ, М. - Л., 1935; 2) Лоренц Г. А., Старые и новые проблемыфизики. [Сб. пер.], М., 1970; 3) Пуанкаре А., Избр. труды, т. 3, М., 1974;4) Эйнштейн А., Собр. научных трудов, т. 1 - 2, М., 1965 - 66. II. Монографии:1) Борн М., Эйнштейновская теория относительности, пер. с англ., 2 изд.,М., 1972; 2) Вавилов С. И., Экспериментальные основания теории относительности, <М. - Л., 1928; 3) Вайскопф В., Физика в двадцатом столетии, пер. с англ.,М., 1977; 4) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 7 изд., М., 1988;5) Логунов А. А., Основы теории относительности, М., 1982;
6) Rindler W., Essential relativity, 2ed., N. Y., 1977; 7) Паули В., Теория относительности, пер. с нем., 2 изд.,М., 1983; III. Периодические издания: 1) Srаith N. М., The energiesreleased in the reactions Li (p,a)He4 and Liu(d,a) He4 and masses of the light atoms, "Phys. Rev.",1939, v. 56, p. 548; 2) Rоssi В. и др., Farther measurements of the mesotronlifetime, "Phys. Rev.", 1942, v. 61, p. 675; 3) Review of particle properties.Particle data group, "Rev. Mod. Phys.", 1984, v. 56, N° 2, pt 2; 4) A1vagеrТ. и др., Test of a second postulate of special relativity in the GeV region,"Phys. Lett.", 1964, v. 12, p. 260; 5) Сedаrhо1m ,J. P. и др., New experimentaltest of special relativity, "Phys. Rev. Lett.", 1958, v. 1, p. 342; 6)Мас Arthur D. W. и др., Test of a special-relativistic Doppler formulaat p = 0,84, "Phys. Rev. Lett.", 1986, v. 56, p. 282.

И. Ю. Кобзарев.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ" в других словарях:

  • ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ — физическая теория, в развитии которой необходимо различать 3 этапа. 1) Принцип относительности классической механики (Галилей, Ньютон) гласит: во всех равномерно и прямолинейно движущихся системах механические процессы протекают точно так же, как …   Философская энциклопедия

  • ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ — физическая Теория пространства и времени. В частной (специальной) теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Относительность движения по ГалилеюВпервые положение об относительности механического движения было… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Относительности теория — ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ, физическая теория, рассматривающая пространственно–временные свойства физических процессов. Так как закономерности, устанавливаемые относительности теорией, общие для всех физических процессов, то обычно о них говорят… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ — (14) …   Большая политехническая энциклопедия

  • Относительности теория —         физическая теория, рассматривающая пространственно временные свойства физических процессов. Закономерности, устанавливаемые О. т., являются общими для всех физических процессов, поэтому часто о них говорят просто как о свойствах… …   Большая советская энциклопедия

  • относительности теория — Эйнштейна, физическая теория, рассматривающая пространственно временные свойства физических процессов. Так как закономерности, устанавливаемые теорией относительности,  общие для всех физических процессов, то обычно о них говорят просто как о… …   Энциклопедический словарь

  • Относительности теория — Альберт Эйнштейн автор теории относительности (1921 год) Теория относительности  термин, введённый в 1908 году Максом Планком с целью показать, как специальная теория относительности (и, позже, общая теория относительности) использует принцип… …   Википедия

  • ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ — физическая теория, рассматривающая пространственно временные свойства физич. процессов. Эти свойства являются общими для всех физич. процессов, поэтому их часто наз. просто свойствами пространства времени. Свойства пространства времени зависят от …   Математическая энциклопедия

  • ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ — Эйнштейна, физ. теория, рассматривающая пространственно временные свойства физ. процессов. Т. к. закономерности, устанавливаемые О. т., общие для всех физ. процессов, то обычно о них говорят просто как о свойствах пространства времени (п. в.).… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ — физ. теория пространства и времени (специальная О. т.), также тяготения (общая О. т.). Специальная О. т. осн. на двух постулатах Эйнштейна: 1) в любых инерциальных системах отсчёта (ИСО) все физ. явления (механич., электромагнитвые и др.)… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

Книги

Другие книги по запросу «ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.