Задача Штурма-Лиувилля

Задача Штурма — Лиувилля состоит в отыскании нетривиальных решений на промежутке $(a,\;b)$ однородного уравнения

L[y] + λρ(x)y(x) = 0,

удовлетворяющих однородным граничным условиям

$\begin{array}{l} \alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0; \\ \end{array}$

и значений параметра λ, при которых такие удовлетворяющие указанным граничным условиям решения существуют.

Оператор L[y] здесь — это действующий на функцию y(x) линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

$L[y]\equiv\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y(x)$

(оператор Штурма — Лиувилля). x — вещественный аргумент.

Функции $p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho(x)$ предполагаются непрерывными на $(a,\;b)$, кроме того функции $p(x),\;\rho(x)$ положительны на $(a,\;b)$.

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения λ, при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Свойства

Данная задача обладает рядом свойств:

• Существует бесконечное счетное множество {λ_n} собственных значений и соответствующая им бесконечная последовательность {y_n(x)} собственных функций. Все собственные значения можно занумеровать в порядке возрастания их абсолютной величины $|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|\leqslant\ldots$
• Каждому собственному значению соответствует с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция.
• В случае граничных условий y(a) = y(b) = 0 и при выполнении условия $q(x)\geqslant 0$ все собственные значения краевой задачи положительны λ_n > 0.
• Собственные функции y_n(x) образуют на $[a,\;b]$ ортогональную с весом ρ(x) систему {y_n(x)}:

$\int\limits_a^b y_n(x)y_m(x)\rho(x)\,dx=0,\quad n\neq m.$