МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ


МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ
МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ

       
(статистический оператор), оператор, при помощи к-рого можно вычислить ср. значение любой физ. величины в квант. статистич. механике и, в частном случае, в квант. механике. Термин «М. п.» связан с тем, что статистич. оператор задаётся обычно в виде матрицы rmn, строки и столбцы к-рой нумеруются индексами mn, отвечающими полному набору квант. чисел, описывающих состояние системы, а её диагональные элементы rmn определяют вероятности соответствующих состояний.
М. п. в квант. статистич. механике играет такую же роль, как ф-ция распределения в классич. статистич. механике.
В квант. механике состояние системы описывается волн. ф-цией y(x), соответствующей максимально полному набору данных о системе; такое состояние наз. ч и с т ы м с о с т о я н и е м. Ср. значение любой физ. величины ?, представляемой оператором ? , в состоянии, описываемом волн. ф-цией y(х), равно:
?=?y*(x)?(x)dx,
где интегрирование проводится по координатам всех ч-ц (для ч-ц со спином проводится, кроме того, суммирование по возможным значениям спина; y* — величина, комплексно сопряжённая y).
Вся квант. механика, за исключением нек-рых вопросов теории измерений, имеет дело с чистыми состояниями. В квант. статистич. механике состояние системы нельзя описать волн. ф-цией из-за отсутствия полной (максимально возможной) информации о квант.-механич. системе. Состояние, не основанное на полном (в смысле квант. механики) наборе данных о системе, в отличие от чистого наз. смешанным состоянием, или смесью состояний; такое состояние описывается М. п. rmn. Ср. значение любой физ. величины A , к-рой соответствует оператор ?, а в представлении квант. чисел m и n соответствует матрица Аnm, равно:
?=Sm,n rmnАnm.
Это усреднение включает как усреднение, связанное с вероятностным хар-ром квант. описания, так и статистич. усреднение, обусловленное неполнотой сведений о рассматриваемой системе, но эти операции не могут быть отделены друг от друга.
В частном случае М. п. может зависеть от координат ч-ц: r(х, х'), где х означает совокупность координат ч-ц x1, x2, ..., xN, а х' —совокупность x'1, х'2, ..., x'N (N — число ч-ц в системе), т. е. координаты ч-ц играют роль матричных индексов М. п. В координатном представлении М. п. связана с rmn соотношением
r(х, х') =Sm,n y*n(x')ym(x).
В этом представлении диагональные элементы М. п. r(х, х) определяют плотность вероятности в состоянии х. Для ч-ц со спином надо учитывать, кроме xi, также спиновые переменные. В Бозе — Эйнштейна статистике М. <п. симметрична относительно перестановок х1, х2,..., xN (или штрихованных переменных). Для ч-ц со спином вместе с координатами следует переставлять и спины.
В Ферми — Дирака статистике М. <п. антисимметрична.
В теории физ. измерений применение М. п. связано с тем, что квант. система, находящаяся до измерения в чистом состоянии, после измерения (в результате вз-ствия с измерит. прибором) будет находиться уже в смешанном состоянии.
М. п. удовлетворяет квант. ур-нию Лиувилля (или уравнению Неймана), к-рое определяет закон эволюции М. п. во времени и служит основой для неравновесной статистич. механики. Это ур-ние позволяет вычислить реакцию статистич. системы, находящейся в статистич. равновесии, на внешние возмущения (напр., на включение электрич. или магн. поля), а также построить статистич. операторы для систем, находящихся в неравновесном состоянии, когда имеются потоки частиц, энергии или импульса.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. . 1983.

МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ

(статистический оператор) - оператор, при помощи к-рого можно вычислить ср. значение любой физ. величины в квантовой статистич. механике и, в частности, в квантовой механике. Термин "М. п." связан с тем, что статистич. оператор обычно задаётся в матричной форме и определяет плотность вероятности. M. п. введена Дж. фон Нейманом (J. von Neumann) и Л. Д. Ландау в 1927.

В квантовой механике ср. значение физ. величины, представляемой оператором 3013-152.jpg в квантовом состоянии, к-рое описывается волновой ф-цией 3013-153.jpgравно

3013-154.jpg

* означает комплексное сопряжение (для частиц со спином нужно учесть зависимость волновой ф-ции от спиновых переменных и, кроме интегрирования, выполнить суммирование по возможным значениям спина). Соответствующий статистич. ансамбль наз. чистым ансамблем, а состояние, к-рое можно описать волновой ф-цией,- "чистым" состоянием. Вся квантовая механика, за исключением нек-рых вопросов теории измерений, основана на применении чистых ансамблей.

Квантовая статистич. механика основана на использовании статистич. ансамбля более общего типа, а именно смешанного ансамбля (или смеси состояний), к-рый характеризуется заданием лишь вероятностей 3013-155.jpg пребывания системы в разл. квантовых состояниях, описываемых волновыми ф-циями 3013-156.jpgДля такого ансамбля ср. значение величины 3013-157.jpgопределяется ф-лой


3013-158.jpg


к-рую можно записать в виде


3013-159.jpg

где Sp - след оператора, а 3013-160.jpg- M. п. в х -представлении, c- совокупность одночастичных координат 3013-161.jpg для частиц со спином 3013-162.jpg включает спин s;. Матричный элемент оператора 3013-163.jpg в x -представлении определяется соотношением


3013-164.jpg

Чистое состояние есть частный случай смешанного, когда вероятность состояния 3013-165.jpgравна 1, а вероятность остальных - нулю. В этом случае M. п. равна произведению волновых ф-ций


3013-166.jpg


В общем случае M. п. нельзя представить в такой форме, преобразуя волновые ф-ции. Описание системы с помощью M. п. является неполным с точки зрения квантовой механики, т. к. оно не основано на максимально полном наборе данных, как при описании с помощью волновой ф-ции, но в статистич. механике эта "неполнота", как правило, не является недостатком. Полное описание системы очень большого числа частиц не только чрезвычайно сложно, но и излишне, поскольку для таких систем проявляются статистич. закономерности. Однако для осн. состояния квантовомеханич. систем с большим числом частиц иногда удаётся в нек-ром приближении теоретически рассчитать волновые ф-ции и пользоваться чистым ансамблем.

Физ. смысл M. п. можно пояснить, рассматривая подсистему с координатами c квантовомеханич. изо-лиров. системы с координатами 3013-167.jpgк-рая описывается волновой ф-цией 3013-168.jpgCp. значение величины 3013-169.jpg

относящейся к подсистеме и зависящей лишь от х, равно


3013-170.jpg


Определяя линейный оператор 3013-171.jpgв матричном координатном представлении с помощью соотношения


3013-172.jpg


получаем для ср. значения оператора выражение

3013-173.jpg

M. п. подсистемы 3013-174.jpg Диагональные элементы M. п.

3013-175.jpg определяют вероятности координат подсистемы. T. о., состояние подсистемы описывается не волновой ф-цией, a M. п.

M. и. обладает след, свойствами: из нормировки вероятности вытекает, что 3013-176.jpgM. п.- эрмитова, т. е.3013-177.jpgи, кроме того, симметрична относительно переменных 3013-178.jpg (или 3013-179.jpg включая спиновые переменные, для Базе- Эйнштейна статистики и антисимметрична для Ферми- Дирака статистики.

Если M. п. удовлетворяет условию 3013-180.jpg то рассматриваемая система находится в чистом состоянии и обладает определ. волновой ф-цией. Действительно, когда 3013-181.jpg приведено к диагональной форме, это означает, что к.-л. один из матричных элементов 3013-182.jpgравен 1, а остальные элементы равны нулю. Для любой физ. величины 3013-183.jpgтогда имеем 3013-184.jpg что соответствует наличию определ. волновой ф-ции 3013-185.jpg В этом случае нет необходимости вводить M. п.

M. п. удовлетворяет квантовому ур-нию Лиувилля


3013-186.jpg


аналогичному ур-нию Лиувилля в классич. статистич. механике. Это ур-ние получается из того факта, что 3013-187.jpg удовлетворяет ур-нию Шрёдингера. В стационарном состоянии 3013-188.jpg и 3013-189.jpg т. е. M. п.- интеграл движения. Это свойство является исходным при построении равновесных статистич. ансамблей и перенесении идей Гиббса в квантовую статистику. Напр., для микроканонич. ансамбля 3013-190.jpg при 3013-191.jpg и 3013-192.jpg вне этого интервала, где 3013-193.jpg- собств. значение гамильтониана H. Для канонич. ансамбля

3013-194.jpg

(F- своpодная энергия, или энергия Гельмголь-ца; 3013-195.jpg T- абс. темп-pa). В этом случае

3013-196.jpg или, в матричной форме,


3013-197.jpg



M. п. применяют в теории необратимых процессов. Если при 3013-198.jpg система с гамильтонианом H находилась в состоянии статистич. равновесия, а затем адиабатически было включено внеш. возмущение Ht (напр., вызванное электрич. или магн. полем), зависящее от времени, то с помощью 3014-1.jpgможно найти реакцию системы на внеш. возмущение. В линейном приближении по внеш. возмущению

3014-2.jpg

3014-3.jpg - статистич. оператор в состоянии равновесия. Отсюда для ср. значения оператора получим

3014-4.jpg

3014-5.jpg и операторы взяты в гейзенберговском представлении:

3014-6.jpg

Эти ф-лы можно представить через двухвременные запаздывающие Грина функции, что используют в теории электропроводности и магн. резонанса.

M. п. применяют для построения операторов плотности комплексов молекул, удовлетворяющих цепочке Боголюбова уравнений, с помощью к-рой можно обосновать кинетич. ур-ние квантового газа.

M. п. используют в теории полярмзов. пучков частиц со спином (магн. моментом) или фотонов. Напр., M. п. пучка частиц со спином 3014-7.jpgв смешанном состоянии имеет вид

3014-8.jpg

3014-9.jpg - спиновые ф-ции двух разл. суперпозиций состояний 3014-10.jpg M. п. в представлении спиновых ф-ций 3014-11.jpgдаётся выражением

3014-12.jpg

где 3014-13.jpg- i-я компонента поляризации, si.- матрицы Паули, е - единичная матрица. M. п. пучка фотонов с разл. поляризацией имеет аналогичный вид и зависит от трёх Стокса параметров, описывающих степени линейной и круговой поляризации относительно разл. осей.

Смешанный ансамбль частиц в разл. состояниях угл. момента 3014-14.jpg 3014-15.jpg описывается M. п. с элементами

3014-16.jpg

Для того чтобы учесть симметрию, связанную с угл. моментом частиц ансамбля, удобно разложить r по неприводимым тензорным операторам угл. моментов

3014-17.jpg

3014-18.jpg

3014-19.jpg - Клебша- Гордана коэффициенты, К, Q- полный момент и его z-компонента,3014-20.jpg-

матрица, имеющая 3014-21.jpgстрок и 3014-22.jpg столбцов.

Величины

3014-23.jpg

наз. мультиполями состояния и характеризуют свойства поляризации и когерентности пучков. Три параметра (при 3014-24.jpg 3014-25.jpg 3014-27.jpg с Q =3014-26.jpg наз. вектором ориентации и характеризуют средний по ансамблю угл. момент. Тензор 2-го ранга наз. тензором в n -строенности, он пропорционален ср. сферич. компонентам тензора электрич. квадрупольного момента.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Квантовая механика, 4 изд., M., 1989, p4; их же, Статистическая физика, ч. 1, 3 изд., M., 1976, p 5; Mандельштам Л. И., Поли, собр. трудов, т. 5, M., 1950; Фон Нейман И., Математические основы квантовой механики, пер. с нем., M., 1964, гл. 5; Боголюбов H. H., Избр. труды, т. 2, К., 1970, с. 288; Зубарев Д. H., Неравновесная статистическая термодинамика, M., 1971, гл. 2-3; Александров И. В., Теория магнитной релаксации, M., 1975; Блум К., Теория матрицы плотности н ее приложения, пер. с англ., M., 1983.

Д. H. Зубарев.


Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ" в других словарях:

  • Матрица плотности — (оператор плотности, оператор матрица плотности, статистический оператор)  один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в… …   Википедия

  • матрица плотности — tankio matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. density matrix vok. Dichtematrix, f rus. матрица плотности, f pranc. matrice de densité, f …   Fizikos terminų žodynas

  • МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ — см. Электронная плотность …   Химическая энциклопедия

  • Матрица рассеяния — Содержание 1 История 2 В технике СВЧ 2.1 Определение …   Википедия

  • ПЛОТНОСТИ МАТРИЦА — см. Матрицаплотности. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 …   Физическая энциклопедия

  • ПЛОТНОСТИ МАТРИЦА — состояния r, определенного на алгебре ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве , положительный ядерный оператор . такой, что (1) причем . Обратно, всякое состояние r, т. е. линейный положительный ( ) нормированный …   Математическая энциклопедия

  • Оператор плотности — Матрица плотности (оператор плотности)  один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так …   Википедия

  • S-матрица — Матрица рассеяния матрица, элементы которой описывают физические параметры рассеяния. Содержание 1 В технике СВЧ 2 В квантовой механике 3 См. также 4 Литература …   Википедия

  • Рассеяния матрица — Матрица рассеяния матрица, элементы которой описывают физические параметры рассеяния. Содержание 1 В технике СВЧ 2 В квантовой механике 3 См. также 4 Литература …   Википедия

  • СТАТИСТИЧЕСКАЯ МАТРИЦА — то же, что матрица плотности. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 …   Физическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.