- ПЛОТНОСТИ МАТРИЦА
состояния r, определенного на алгебре
ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве
,- положительный ядерный оператор
. такой, что
(1)
причем
. Обратно, всякое состояние r, т. е. линейный положительный (
) нормированный (r(E)=1) функционал на
, представимо в виде (1), т. е. имеет П. м. р и притом единственную.
Впервые понятие П. м. появилось в статистич. физике при определении квантового состояния Гиббса. Пусть квантовая система, занимающая конечную область Vпространства
, описывается векторами нек-рого гильбертова пространства
и гамильтонианом.
и обладает, быть может, нек-рым набором коммутирующих друг с другом "первых интегралов"
,...,
, k=1, 2, ... . Состоянием Гиббса такой системы наз. состояние на
, задаваемое П. м.:
(2)
где Z - нормирующий множитель, а b>0, ml,...,mk - действительные параметры.
Наряду с П. м. (2) состояние системы в квантовой статистич. физике можно задавать с помощью т. н. приведенной матрицы плотности. В наиболее простом случае системы одинаковых частиц (бозонов или фермионов), описываемых векторами Фока пространства
, приведенная П. м.
состояния r представляет собой набор функций (вообще говоря, обобщенных)
(3) где
а '
, - рождения операторы и уничтожения операторы соответственно, действующие в
. В случаях, когда в алгебре
вместо операторов рождения и уничтожения выбрана какая-нибудь другая система образующих
- нек-рое множество индексов), приведенная П. м. состояния
определяется аналогично (3) как совокупность значений состояния r на всевозможных мономах вида
Приведенная П. м. оказывается особенно удобной при определении предельного гиббсовского состояния на С*-алгебре
так наз. квазилокальных наблюдаемых:
(черта означает замыкание в равномерной топологии).
Лит.:[1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, 3 изд., М., 1976 (Теоретическая физика, т. 5); [2] Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, пер. с англ., М., 1971. Р. А. Минлос.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.