ДЕФОРМАЦИЯ

- 1) Д. аналитической структуры - семейство аналитич. ространств (или связанных с ними аналитич. объектов), зависящее от параметров. Теория Д. возникла из задачи классификации всевозможных попарно не изоморфных комплексных структур на данном вещественном дифференцируемом многообразии. Основная идея, восходящая к Б. Риману (В. Biemann), состояла здесь в том, чтобы ввести аналитич. структуру на множестве всех таких структур. Уточнением этой идеи являются следующие понятия. Аналитическим семейством комплексных многообразий, параметризованным комплексным пространством S, наз. любое гладкое (т. е. локально устроенное как проекция прямого произведения с гладким слоем) аналития. отображение Если Sсвязно, то все слои X_s,отображения p диффеоморфны фиксированному слою Х _о, где и могут рассматриваться как семейство комплексных структур на Х _о, аналитичеcки зависящее от параметра Если семейство Xсодержит в качестве слоев все комплексные многообразия, диффеоморфные Х ₀, причем все слои попарно не изоморфны, то Sназ. пространством модулей вещественного многообразия Х ₀. Можно определить также пространство модулей для многообразий, принадлежащих определенному классу. Проблема построения пространства модулей (или проблема модулей) была решена вначале для компактных римановых поверхностей (см. Римановых поверхностей конформные классы). Результаты такого рода, хотя и неполные, получены и для компактных многообразий комплексной размерности 2 (см. Аналитическая поверхность).

Для многообразий больших размерностей исследование проблемы модулей встречает значительные трудности. В связи с этим К. Кодаира и Д. Спенсер [6], [7], [8] предприняли локальное изучение проблемы модулей, заложив тем самым основы теории Д. комплексных многообразий и аналитич. расслоений. Аналитической деформацией комплексного многообразия Х ₀ наз. аналитич. семейство причем S- комплексное пространство с отмеченной точкой о, слой над к-рой совпадает с Х _о. Деформация Х =Х _ОS наз. тривиальной. Д. многообразия Х _о наз. изоморфной Д. если существует аналитич. изоморфизм тождественный на Х _о и такой, что Если - аналитич. Д., то всякое аналитич. отображение где о'- пространство с отмеченной точкой о' и f(o')=o, определяет при помощи замены базы Д. - обратный образ данной Д. при отображении f. Деформация наз. локально полной (в точке о), если любая аналитич. Д.многообразия Х _о изоморфна в нек-рой окрестности отмеченной точки ее обратному образу при нек-ром локальном аналитич. отображении Если при этом df₀' определено однозначно, то Д. наз. версальной в точке о, а если однозначно определен росток отображения f,- то универсальной. Важную роль в теории играет линейное отображение где - пучок ростков голоморфных векторных полей на Х ₀, к-рое сопоставляется аналитич. Д. и наз. соответствующей инфинитезимальной деформацией.

Основная теорема локальной теории Д., доказанная М. Кураниси [9], утверждает, что для каждого компактного комплексного многообразия Х _о существует версальная в точке о Д., параметризованная (не обязательно гладким) аналитич. одпространством Sв окрестности нуля пространства Н ¹( Х ₀,Q). При этом S- слой в точке онек-рого локального аналитич. отображения имеющего вид g(x)=[x, x]+..., где [,] -операция в градуированной алгебре Ли H*( Х _о,Q), индуцированная скобкой Ли в пучке в, а точки означают члены порядка . Если Н ¹( Х ₀,Q)=0 то многообразие Х _о является жестким, т. е. любая его Д. локально тривиальна (теорема жесткости Фрёлихера - Нейенхёйса). Если Н ²( Х, Q) = 0, то S- окрестность нуля в Д ¹( Х _О, в). Касательное пространство T₀(S)всегда совпадает с Н ¹( Х ₀, Q). Д. является полной в точке Oтогда и только тогда, когда соответствующая инфинитезимальная Д. сюръективна, а версальность равносильна биективности инфинитезимальной Д. Если постоянна в окрестности нуля, то деформация Кураниси является универсальной.

Локальная теория Д. компактных комплексных многообразий обобщается на случай компактных комплексных пространств. При этом вместо гладкости отображения и компактности слоя требуют, чтобы p было плоским и собственным отображением. Здесь также можно доказать существование версальной в точке оД. (см. [3], [5], [11]).

Изучаются также Д. ростков аналитич. ространств (или, что равносильно, аналитич. алгебр). Справедлива теорема о существовании версальной Д. для изолированной особой точки комплексного пространства [4].

Наряду с теорией Д. комплексных пространств существуют теории Д. различных "аналитических объектов" - аналитич. расслоений, подпространств, отображений, , классов когомологий, аналитич. ространств с дополнительной структурой (напр., с поляризацией) и др. Основные определения и проблематика этих теорий аналогичны описанным выше. Результаты, полученные для главных аналитич. расслоений, также аналогичны перечисленным выше. В частности, для любого главного аналитического расслоения Е с компактной базой X и комплексной группой Ли Gв качестве структурной группы существует версальная в точке оД. расслоения Е, параметризованная аналитич. одпространством в окрестности нуля пространства где - пучок ростков голоморфных сечений векторного расслоения над X, ассоциированного с Епри помощи присоединенного представления [1]. Если X - компактная риманова поверхность, a G- редуктивнан алгебраич. группа, то можно построить пространство модулей для стабильных главных аналитич. расслоений. В теории Д. подпространств, напротив, получены весьма общие результаты глобального характера. А именно, если X- произвольное комплексное пространство ограниченной размерности, то построено [2] плоское аналитич. семейство компактных аналитич. одпространств в X(т. е. аналитич. одпространство где S- комплексное пространство и проекция есть собственное цлоское отображение), являющееся универсальной (в глобальном смысле) Д. для любого компактного аналитич. одпространства в X. В частности, Sявляется пространством модулей для рассматриваемой задачи. Аналогичная проблема модулей решена в относительном случае, а также для компактных аналитич. циклов заданного комплексного пространства. Из решения проблемы модулей для компактных подпространств следует решение проблемы модулей и для аналитич. отображений заданного компактного комплексного пространства в другое заданное комплексное пространство.

Существуют попытки унификации упомянутых выше теорий Д. С каждой из этих теорий можно связать контравариантный функтор Dиз категории аналитич. ространств (или ростков аналитич. ространств) в категорию множеств. Напр., в теории локальных Д. комплексного пространства Х _о множество D(S)состоит из классов локально изоморфных Д. пространства Х _о, параметризованных ростком аналитич. ространства S. Если фиксировать Sи элемент то возникает морфизм функторов Сюръективность этого морфизма (пара (S,d). наз. в этом случае полной) соответствует свойству полноты Д. б, а биективность - свойству ее универсальности. Проблема модулей связана, таким образом, с вопросом о представимости функтора D. В связи с этим было предпринято изучение ковариантных функторов из категории артиновых колец в категорию множеств, удовлетворяющих нек-рым естественным условиям [12]. Существование полной пары доказывается, однако, лишь в категории формальных алгебр, что соответствует существованию формальной полной Д. (см. Деформация алгебраического многообразия).

Обобщением теории Д. комплексных структур на многообразии является теория Д. псевдогрупповых структур, в к-рой рассматриваются семейства псевдогрупповых структур, гладко зависящие от параметра, принимающего значения в вещественном аналитич. ространстве. В частности, для псевдогрупповой структуры на компактном гладком многообразии, соответствующей эллиптич. транзитивной псевдогруппе преобразований, доказано существование версального ростка деформации [10].

Лит.:[1] Донин И. Ф., "Матем. сб.", 1974, т. 94, № 3, с. 430-43; [2] Dоuadу A., "Ann. Inst. Fourier", 1966, t. 16, p. 1-95; [3] его же, "Ann. sci. Ecole norm, sup.", 1974, т. 7, №4, p. 569-602; [4] Grauert H., "Invent, math.", 1972, Bd 15, № 3, S. 171-98; [5] его же, там же, 1974, Bd 25, №2, S. 107-42; [6] Kodaira K., Spencer D. C, "Ann. Math.", 1958, v. 67, № 2, p. 328-401; [7] их же, там же, 1958, v. 67, № 3, p. 403-66; [8] их же, там же, 1960, v. 71, № 1, p. 43-76; [9] Кuranishi M., в кн.: Proceedings of the Conference on Complex Analysis, Minneapolis. 1964, N. Y.- В., 1965, p. 142-54; [10] Moolgavkar S. H., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1975, v. 212, № 485, p. 173-97; [11] Палaмодов В. П., "Успехи матем. наук", 1976, т. 31, № 3, с. 129- 194; [12] Шлезингер М., "Математика", 1971, т. 15, М" 4, С. 115 - 29.

А. Л. Онищип, Д. А. Пономарев.

продолжение Деформация...

2) Д. алгебраического многообразия - включение алгебраич. многообразия в семейство алгебраич. многообразий. Теория Д. алгебраич. многообразий и схем представляет собой алгебраич. аналог теории Д. аналитич. структур. Ее основными вопросами являются следующие:

Существование подъема. Дана схема Х _о над полем к, схема S, точка с полем вычетов k(s₀)=k. Существует ли плоская S-схема X, для к-рой слой X_S0 над точкой s₀ изоморфен Х ₀? (S-схема Xназ. деформацией, или подъемом, схемы Х ₀ над S).

Проблема универсальности. Существует ли версальная (соответственно универсальная) Д. схемы Х ₀, т. е. такая Д. Мнад схемой Х ₀, что для любой другой Д. найдется (соответственно единственный) морфизм для которого

Каждая Д. схемы Х ₀ с помощью операции формального пополнения вдоль слоя X _S0 определяет формальную деформацию х над пополнением локального кольца схемы Sв точке s₀, т. е. плоскую формальную схему над с топологич. пространством Х ₀. Формальные аналоги перечисленных выше вопросов формулируются следующим образом:

Существование формальной Д. Дано полное локальное кольцо с полем вычетов к. Существует ли плоская формальная схема над с топологическим пространством Х ₀?

Существование формальной схемы модулей. Существует ли формальная версальная (соответственно универсальная) Д., т. е. плоская формальная схема р: х->Qнад полным локальным кольцом с полем вычетов ктакая, что для любой формальной Д. имеется (соответственно единственный) гомоморфизм колец для которого

Универсальная формальная Д. гладкого многообразия представляет собой алгебраич. аналог локального пространства модулей в теории Д. аналитич. структур.

Если S = Spec R, где R- локальное артиново (соответственно полное) кольцо с полем вычетов к, то Д. Х ₀ над Sназ. инфинитезимальной (соответственно эффективной формальной). В случае, когда R- полное локальное кольцо характеристики нуль (напр., кольцо Витта векторов), эффективная формальная Д. Х ₀ наз. подъемом Х ₀ в характеристику нуль.

Если Х ₀ - гладкая k-схема и Н ²( Х ₀,T_X0)=0, где T_X0- касательный пучок на Х ₀, то для любого артинова (соответственно полного) локального кольца существует инфинитезимальная (соответственно формальная) Д. Х ₀. При этом, если Н ¹( Х ₀, Т _X0)=0, то такая Д. единственна с точностью до изоморфизма (см. [4]). Аналогичные утверждения для необязательно гладких схем даются в терминах кокасательного комплекса (см. [5], [6]). Вопрос о существовании эффективной формальной Д. изучается с помощью рассмотрения функтора D_X0 из категории С _k артиновых локальных колец с полем вычетов кв категорию множеств, к-рый сопоставляет каждому объекту Rиз С _k множество всех инфинитезимальных Д. Х ₀ над R. Универсальная формальная Д. Х ₀ существует в том и только в том случае, когда функтор является пропредставимым функтором. При этом пропредставляющий объект - полное локальное кольцо М _X0 c полем вычетов к- наз. формальной схемой модулей к-схемы Х ₀. Формальная версальная Д.существует, если Х ₀ собственна над кили X₀, есть аффинная схема конечного типа над кс изолированными особыми точками (см. [2], [6]). Версальная формальная Д. является универсальной, если для любого сюръективного гомоморфизма локальных артиновых колец и Д. из D_X0(R' )естественное отображение групп автоморфизмов

является сюръективным. Это условие выполняется, напр., если Х ₀- гладкая схема и H⁰ (Х ₀, Т _X0)=0. При этом, если Н ²( Х ₀, T_X0) = 0, то формальная схема модулей М _X0 является полным регулярным локальным кольцом, изоморфным кольцу k[[t₁, ..., t_m]]формальных степенных рядов от mпеременных. Число mравно в этом случае dim_kH¹ (Х ₀, Т _X0 )и наз. числом локальных модулей схемы Х ₀. В общем случае dim_kH¹ (Х ₀, Т _X0 )равна размерности касательного пространства к М _X0 и , т. е. размерности dim_km/m², где m- максимальный идеал соответствующего локального кольца, а

Наличие нильпотентных элементов в формальной схеме модулей представляет довольно частое явление.

Если версальная (соответственно универсальная) формальная Д. алгебраизуема, т. е. существует плоская схема над М _X0, формальное пополнение которой вдоль замкнутого слоя изоморфно х, то соответствующая алгебраизация наз. локальной версальной (соответственно универсальной) Д. k-схемы Х ₀. Если Х ₀ проективна и H² (Х ₀,T_X0) = 0 ,то алгебраизация существует. Напр., для полной гладкой кривой рода g>l существует локальная универсальная Д. над кольцом k[[t₁,. .., t_3g-3]]. В общем случае, для каждой поляризации амногообразия Х _о существует максимальная замкнутая подсхема в формальной схеме модулей такая, что р ^-1( М _X0,a). алгебраизуема. Коразмерность M_{X0, a} в М _X0 не превышает Напр., если Х ₀- алгебраическая КЗ-поверхность, М _X0 регулярна размерности 20, а для любой поляризации а подсхема М _X0,a. регулярна размерности 19.

Теорема Артина об аппроксимации применяется для алгебраизации формальной схемы модулей. Существует схема Sконечного типа над ки точка с полем вычетов ктакая, что пополнение и существует Д. Х ₀ над S, индуцирующая версальную локальную Д.Схема Sопределена однозначно с точностью до локального изоморфизма в этальной топологии [1]. Относительно Д. особых многообразий и особых точек см. Особая точка алгебраического многообразия. Относительно Д. групповых схем см. Групповая схема.

Лит.:[1] Артин М., "Математика", 1970, т. 14, №4, с. 3-47; L2] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1974, с. 77-170; [3] Шлезингер М., "Математика", 1971, т. 15, № 4, с. 115-29; [4] Revetements "tales et groupe fondamental (SGA 1), В.- Hdlb,- N. Y., 1971; [5] Rim D. S., в кн.: Groupes de monodrojnie en geometrie algebrique (SGA71), В.-Hdlb.-N. Y., 1972, p. 32-132; [6] Mumfоrd D., в кн.: Zariski О., Algebraic surfaces, 2 ed., В. -Hdlb. -N. Y., 1971, p. 118-28.

И. В. Долгачев.

3) Д. алгебры - семейство алгебр, зависящее от параметров. Всевозможные билинейные операции или алгебры в пространстве Vнад полем кобразуют векторное пространство А(V). Два элемента этого пространства представляют изоморфные алгебры тогда и только тогда, когда они лежат на одной орбите линейной группы GL(F), естественным образом действующей в A(V). Теория Д. алгебр позволяет исследовать локальное строение фактормножества A(V)/GL(V), т. е. множества классов изоморфных алгебр в пространстве V, прямое описание к-рого связано с большими трудностями. Если выделен нек-рый класс алгебр то можно рассматривать Д. алгебр из класса К, не выводящие за пределы этого класса. В частности, рассматриваются Д. ассоциативных, ассоциативно-коммутативных алгебр и алгебр Ли, образующие классы K=Ass(F), K=Comm(V), K=Lie(V), соответственно, инвариантные относительно действия группы GL(F). Если dim V=n, то эти классы являются алгебраич. многообразиями в n³ -мерном пространстве A(V).

Теория Д. алгебр в конечномерном пространстве Vнад полем k=R и С действительных или комплексных чисел во многом аналогична теории деформаций аналитич. структур. Каждая конечномерная алгебра U над k=R или С обладает полной Д., параметризованной ростком аналитич. одпространства в нуле пространства H², V)[если Н ³(F)=0, то это подпространство совпадает с Н ²( V)]. Из этого основного результата непосредственно следует теорема жесткости: если Н ²(V) = 0, то алгебра U является жесткойв K, т. е. орбита элемента относительно GL(V) открыта в К. Напр., жесткими в классе алгебр Ли являются полупростые алгебры Ли, а также их подалгебры Бореля. Утверждение, обратное к теореме жесткости, неверно. Аналогичные утверждения справедливы для конечномерных алгебр над произвольным алгебраически замкнутым полем k. Например, если H²(G, V)=0, то орбита алгебры в открыта по Зарискому.

Аналогично может быть развита теория Д. гомоморфизмов одной конечномерной алгебры в другую. На самом деле, описанные выше теории включаются в общую схему, использующую аппарат градуированных алгебр Ли. Сходные результаты получены также для Д. подалгебр.

Наряду с указанной выше теорией существует теория формальных Д. алгебр и их гомоморфизмов над произвольным полем k. Формальной Д. алгебры, заданной в векторном пространстве Vнад k, наз. алгебра на пространстве V((t))над полем k((t))формальных степенных рядов над kс операцией о, к-рая полностью определяется условием

где Требуя, чтобы Д. принадлежала данному классу алгебр, можно говорить о формальных Д. ассоциативных, ассоциативно-коммутативных, лиевых и других алгебр.

Две формальные Д. алгебры с умножениями и соответственно наз. эквива. лентпыми, если существует линейный автоморфизм Ф пространства со свойством

где - линейное отображение такое, что

Д., эквивалентная алгебре с исходным умножением, наз. тривиальной. Алгебра, не имеющая нетривиальных формальных Д. в данном классе алгебр, наз. формально жесткой в этом классе. Напр., свободная алгебра в классе всех алгебр будет формально жесткой. В классах Ass(V), Comm(V), Lie(F) достаточным условием формальной жесткости алгебры U является равенство Н ²(F) = 0. В классе Ass(F) это условие является также и необходимым [3].

В случаях k=R или С формальные Д. алгебр служат аппаратом для изучения аналитич. Д.

Важной областью приложений и источником примеров Д. алгебр является теоретич. физика, где, в частности, возник следующий класс Д. алгебр (см. [4], [5]). Стягиванием конечномерной алгебры U над k=R или С наз. непрерывная кривая в пространстве А(V)такая, что при

Алгебра полученная из в результате стягивания, наз. предельной и может не быть изоморфной алгебре Напр., любую алгебру можно стянуть в алгебру с нулевым умножением; любую полупростую алгебру Ли можно стянуть в неабелеву неполупростую.

Лит.:[1] Niienhuis A, Richardson R.W.Jr., "Bull. Amer. Math. Soc", 1966, v. 72, № 1, p. 1-29, 1967, v. 73, №1, p. 175-79; [2] Gerstenhaber M., "Ann. Math.", 1964, v. 79, p. 59-103; [3] Knudson D., "Trans. Amer. Math. Soc", 1969, v. 140, p. 55-70; [4] Inonu E., Wigner Е. P., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1953, v. 39, № 6, p. 510-24: [5] Hermann R., Lie groups for physicists, N. Y.- Amsterd., 1966.

А. А. Вояркин, А. В. Михалев, А. Л. Опищик.

4) Д. подмножества А пространства

X- гомотопия:

для к-рой D( а,0) =а при Если, более того, множество D () принадлежит нек-рому подпространству X' пространства X, то D наз. Д. А в X' , а Аназ. деформируемым в X' в пространстве X. Пространство Xназ. деформируемым в подпространство X' , если оно деформируемо по себе в А'. В частности, Xстягиваемо тогда и только тогда, когда оно деформируемо в одну из своих точек. Пространство Xдеформируемо в подпространство X' тогда и только тогда, когда для вложения i:. существует правое гомотопически обратное отображение r:, т. е.

Понятие Д. всего пространства по себе на подпространство родственно понятию слабой ретракции.

М. И. Войцеховский.