Бернулли числа

B0 = 1

$B_1=-\frac12$

$B_2=\frac16$

B3 = 0

$B_4=-\frac1{30}$

B5 = 0

$B_6=\frac1{42}$

B7 = 0

$B_8=-\frac1{30}$

B9 = 0

$B_{10}=\frac5{66}$

B11 = 0

$B_{12}=-\frac{691}{2730}$

B13 = 0

$B_{14}=\frac76$

B15 = 0

$B_{16}=-7\frac{47}{510}$

Числа Бернулли — последовательность рациональных чисел B₀,B₁,B₂,... найденная Я. Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел:

$\sum_{n=1}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^kC^s_{k+1}B_s N^{k+1-s}$

Формула для чисел Бернулли

Для чисел Бернулли существует следующая реккурентная формула: $B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}C_{n+1}^{k+1}B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}$

Свойства

• Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме B₁, равны нулю, знаки B_2n чередуются.
• Числа Бернулли являются значениями при x = 0 многочленов Бернулли: B_n = B_n(0).

Коэффициентами разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто служат числа Бернулли. Например:

• Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

$\frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n, |x|< 2\pi$,

• $x\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi$,
• $\operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2$.
• Эйлер указал на связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s = 2m:

$B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.$

Из чего следует

B_n = − nζ(1 − n) для всех n.

• $\int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|, n=1,2,...$

Литература

• Абрамович В. Числа Бернулли, Квант, № 6, 1974;

Ссылки

• Генератор Чисел Бернули