БЕРНУЛЛИ ЧИСЛА

- последовательность рациональных чисел найденная Я. Бернулли [1] в связи с вычислением суммы одинаковых стейеней натуральных чисел:

Значения первых Б. ч.:

Все Б. ч. с нечетными номерами, кроме В ₁ равны нулю, знаки чередуются. Б. ч. являются значениями при Бернулли многочленов:; коэффициентами разложения нек-рых элементарных функций в степенные ряды часто служат Б. ч. Напр.

(т. н. производящая функцию для Б. ч.),.

Л. Эйлер (L. Euler, 1740) указал на связь между Б. <ч. и значениями дзета-функции Римана z(s) при четных :

Через Б. ч. выражаются многие несобственные интегралы, напр.

Некоторые соотношения для Б. ч.:

-(рекуррентная формула):

оценка:

Для Б. ч. имеются обширные таблицы, напр., в [2] приведены точные значения для и приближенные значения для Б. ч. находят многочисленные применения в математич. анализе, теории чисел, приближенных вычислениях.

Лит.:[1] Bernoulli J., Ars conjectandi, Basileae, 1713; [2] Tables of the higher mathematical functions, y. 2, Bloomington, 1985; [3] Saalschuetz L., Vorlesungen uber die Bernoullischen Zahlen, В., 1893; [4] Чистяков И. И., Бернуллиевы числа, М., 1895; [5] Nielsen N., Traite elementaire de nombres de Bernoulli, P., 1923; [6] Кудрявцев В. А., Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли, М.-Л., 1936; [7] Norlund N. E., Vorlesungen uber Differenzenrechnung, В., 1924; [8] Гeльфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967; [9] Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951. Ю. Я. Субботин.