Z-оператор

Z-преобразованием называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты E(n) = z ^{− n} = r ^{− n}e ^{− iωn}, то есть на гармонические осцилляциии с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Определение

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее

Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее Z-преобразование X(z) дискретного временного сигнала x[n] задаётся как:

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

где n — целое, z — комплексное число.

$z= A e^{j\varphi} \$

где A — амплитуда, а $\varphi$ — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразование

В случаях, когда x[n] определена только для $n\ge0$, одностороннее Z-преобразование задаётся как:

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

$x[n] = Z^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint\limits_{C} X(z) z^{n-1} dz \$

где C — контур, охватывающий область сходимости X(z). Контур должен содержать все вычеты $X(z) \$.

Положив в предыдущей формуле $z = r e^{j n \varphi}$, получим эквивалентное определение:

$x[n] = \frac{r^{n}}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}X(re^{j\varphi})e^{jn\varphi}d \varphi$

Область сходимости

Область сходимости представляет из себя некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых выполнено условие: $OC = \left\{z : \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} < \infty\right\}\$

то есть сумма по членам преобразования является конечной.

Таблица некоторых Z-преобразований

	Сигнал, x[n]	Z-преобразование, X(z)	Область сходимости
1	$\delta[n] \,$	$1\,$	$\forall z\,$
2	$\delta[n-n_0] \,$	$\frac{1}{z^{n_0}}$	$\forall z\,$
3	$u[n] \,$	$\frac{z}{z-1}$	$|z| > 1\,$
4	$a^n u[n] \,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$|z| > |a|\,$
5	$n a^n u[n] \,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$|z| > |a|\,$
6	$-a^n u[-n-1] \,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$|z| < |a|\,$
7	$-n a^n u[-n-1] \,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$|z| < |a|\,$
8	$\cos(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$|z| >1\,$
9	$\sin(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$|z| >1\,$
10	$a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$|z| > |a|\,$
11	$a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$|z| > |a|\,$

См. также

• Модифицированное Z-преобразование
• Преобразование Лапласа

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Z-Transform на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)