ВЕИЕРШТРАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ф>тнкции, положенные К. Вейерштрассом в основу его общей теории эллиптических функций, излагавшейся им с 1862 на лекциях в Берлинском университете (см. [1], [2]). В отличие от более раннего построения теории эллиптич. функций, связанного с именами А. Лежандра (A. Legendre), Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Jacobi), в основу к-рого были положены эллиптич. функции 2-го порядка, имеющие в параллелограмме периодов два простых полюса, основная В. э. ф. имеет в параллелограмме периодов один полюс 2-го порядка. В теоретич. отношении теория Вейерштрасса более проста, так как исходная в этой теории функция и ее производная служат образующими алгебраич. поля эллиптич. функций с заданными примитивными периодами.

Пэ-функция( -функция) Вейерштрасса ( - знак Вейерштрасса, стилизованная буква "пэ") для заданных примитивных периодов определяется рядом

где и целые числа пробегают все значения, кроме пары Функция есть четная эллиптич. функция порядка 2, имеющая в каждом параллелограмме периодов единственный полюс 2-го порядка с нулевым вычетом. Ее производная есть нечетная эллиптич. функция порядка 3 с теми же примитивными периодами; имеет простые нули в точках, конгруэнтных , . Наиболее важное свойство функции состоит в том, что любая эллиптич. функция с данными примитивными периодами может быть представлена в виде рациональной функции от и , т. е. и являются образующими алгебраич. поля эллиптич. функций с данными периодами. Среди однопериодических тригонометрич. функций аналогом функции служит .

Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

в к-ром модулярные формы.

наз. относительными инвариантами, а величины , , - иррациональными инвариантами функции . Абсолютным инвариантом функции наз. всякая рациональная функция от или от , где есть дискриминант. Имеется в виду инвариантность относительно модулярных преобразований (см. Модулярная функция). В приложениях обычно и -действительные; если при этом , то - также все действительные. Уравнение (2) показывает, что может быть определена как обращение эллиптического интегралаIрода в нормальной форме Вейерштрасса:

Функция отображает взаимно однозначно и конформно параллелограмм периодов на канонически разрезанную двулистную компактную риманову поверхность Fс точками ветвления рода 1; поверхность F иногда наз. эллиптическим образом.

На главной накрывающей поверхности F указанный интеграл I рода однозначен и является униформизирующей переменной для F.

Эллиптич. интеграл II рода поля эллиптич. функций с данными периодами при этой униформизации переходит в дзета-функцию (z-функцию) Вейерштрасса , определяемую рядом

Функция - нечетная мероморфная функция, связанная с соотношением ; она не является периодической и при добавлении периодов преобразуется по закону , где . При этом между имеет место соотношение Лежандра

.

равносильное соотношению между полными эллиптич. интегралами:

Произвольная эллиптич. функция с данными периодами выражается через по формуле Эрмита:

где - постоянная, - полная система полюсов функции , числа - коэффициенты главной части разложения Лорана функции в окрестности полюса . Разложение (4) есть аналог разложения произвольной рациональной функции на простейшие дроби. Среди тригонометрич. функций аналогом функции является

Сигма-функция (s-функция) Вейерштрасса определяется как бесконечное произведение

Функция есть нечетная целая функция с нулями связанная с функциями п соотношениями:

она не является двоякопериодической; имеют место тождества:

где

Произвольная эллиптич. функция с периодами выражается через в виде:

*

где - постоянная; - нулевая полная система нулей и полюсов функции

. Среди тригонометрпч. функций аналогом функции является

В теории Вейерштрасса имеют также значение сигма-функции с индексами:

Функции выражаются через тета-функции (см. Якоби эллиптические функции), а функция просто выражается через что составляет вычислительный базис функции Вейерштрасса. Можно получить и непосредственное выражение В. э. ф. через эллиптич. функции Якоби, напр, в виде:

В прикладных вопросах обычно заданы относительные инварианты . При этом для вычисления примитивных периодов используется абсолютный инвариант к-рый является модулярной функцией от отношения периодов (см. также Модулярная функция).

Лит.:[1] WeierstrassK., Mathematische Werke, Bd 1-2, В., 1894-95; [2] Schwarz'H. A., Formeln und Lehr-satze zura Gebrauehe der elliptiachen Funktionen, 2 Aufl., В., 1893; [3] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, М., 1968, ч. 2: [4] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд , н. 2, М., 1963, гл. 20; [5] Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций. 2 изд., М., 1970. Е. Д. Соломенцев.