- Ряды Эйзенштейна
-
Ряды Эйзенштейна, названные в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна — специальные простые примеры модулярных форм, задаваемые как сумма явно выписываемого ряда.
Содержание
Определение
Ряд Эйзенштейна
веса
— функция, определённая на верхней полуплоскости
и заданная как сумма ряда
Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции переменной
.
Свойства
Модулярность
Ряд Эйзенштейна задаёт модулярную форму веса
: для любых целых
с
имеем
Это следует из того, что ряд Эйзенштейна можно представить как функцию от порождённой 1 и τ решётки
, продолжив его на всё пространство решёток:
Тогда
Соотношение модулярности тогда соответствует переходу от базиса
к базису
той же решётки (что не изменяет значения
) и нормированию второго элемента нового базиса на 1.
Представление модулярных форм
Более того, как оказывается, любая модулярная форма (произвольного веса
) выражается как полином от
и
:
Связь с эллиптическими кривыми
-функция Вейерштрасса эллиптической кривой
раскладывается в ряд Лорана в нуле как
В частности, модулярные инварианты кривой E равны
Литература
- А. Вейль, Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1976), пер.с англ. Ю. И. Манина, М.: «Мир», 1978:
- Серр Ж.-П., Курс арифметики. М.: Мир, 1972.
Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.Категории:- Комплексный анализ
- Аналитическая теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.