Функции параболического цилиндра

Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра (функции Вебера) — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.

В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения

$\frac{d^2f}{dz^2} + \left(az^2+bz+c\right)f=0.\quad (1)$

График функций Вебера с положительным целым индексом

При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении, получается уравнение:

$\frac{d^2f}{dz^2} + \left(\nu +\frac12-\frac{z^2}{4}\right)f=0,$

решения которого называются функциями Вебера и обозначаются $~D_\nu (z).$

Функции $~D_\nu (z), D_\nu (-z), D_{-\nu-1} (iz), D_{-\nu-1} (-iz)$ являются решениями уравнения Вебера, причём при нецелом $~\nu$ функции $~D_\nu (z), D_\nu (-z)$ линейно независимы. Для всех $~\nu$ функции $~D_\nu (z), D_{-\nu-1} (\pm iz)$ также линейно независимы.

График функций Эрмита с положительным индексом

График функций Эрмита с отрицательным целым индексом

Однако на практике чаще пользуются другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из $~(1)$ заменой $~f(\alpha z+\beta)=e^{-z^2}y(z)$

$\frac{d^2y}{dz^2} -2z\frac{dy}{dz}+2\nu y=0.\qquad (2)$

Функции Эрмита обозначаются $~H_\nu(z).$ Общее решение уравнения $~(2):$

$~y(z)=c_1H_\nu(z)+c_2\Phi\left(-\frac{\nu}{2};\frac12;z^2\right),$

где $~\Phi\left(\alpha;\beta;z\right)$ — вырожденная гипергеометрическая функция.

При целом неотрицательном $~\nu$ функция Эрмита совпадает с полиномом Эрмита. При целом отрицательном $~\nu$ функция Эрмита выражается в замкнутом виде через функцию ошибок.

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования

Рекуррентные соотношения

$~H_\nu (z)=2zH_{\nu-1} (z)-2(\nu-1)H_{\nu-2} (z)$

$~H_\nu (z)=\frac{2z}{2(\nu+1)}H_{\nu+1} (z)-\frac{1}{2(\nu+1)}H_{\nu+2} (z)$

$2\nu~H_{\nu-1} (z)+H_{\nu+1} (z)=2zH_\nu (z)$

Формулы дифференцирования

$\frac{d}{dz}~H_\nu (z)=2\nu H_\nu(z)$

$\frac{d}{dz}~H_\nu (z)- 2zH_\nu (z)=-H_{\nu+1} (z)$

$\frac{d}{dz}\Bigl[e^{-z^2}~H_\nu (z)\Bigr]=-e^{-z^2} H_{\nu+1}(z)$

Интегральные представления

Асимптотическое поведение

В начале координат

На бесконечности

Литература

• Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, 1963, том 2
• Бейтмен, Эрдейи Высшие трансцендентные функции, том 2

H.F. Weber, "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+k^2u=0$" Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36

См. также

Ссылки

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables 1972, Dover: New York. chapter 19.
• Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Function. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Differential Equation. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.