Боровская модель атома

Боровская модель водородоподобного атома (Z — заряд ядра), где отрицательно заряженный электрон заключен в атомной оболочке, окружающей малое, положительно заряженное атомное ядро. Переход электрона с орбиты на орбиту сопровождается излучением или поглощением кванта электромагнитной энергии (hν).

Бо́ровская моде́ль а́тома (Моде́ль Бо́ра) — полуклассическая модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 г. За основу он взял планетарную модель атома, выдвинутую Резерфордом. Однако, с точки зрения классической электродинамики, электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать непрерывно, и очень быстро, потеряв энергию, упасть на ядро. Чтобы преодолеть эту проблему Бор ввел допущение, суть которого заключается в том, что электроны в атоме могут двигаться только по определенным (стационарным) орбитам, находясь на которых они не излучают, а излучение или поглощение происходит только в момент перехода с одной орбиты на другую. Причем стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона равен целому числу постоянных Планка^[1]: $m_evr = n\hbar \$.

Используя это допущение и законы классической механики, а именно равенство силы притяжения электрона со стороны ядра и центробежной силы, действующей на вращающийся электрон, он получил следующие значения для радиуса стационарной орбиты $R_n$ и энергии $E_n$ находящегося на этой орбите электрона:

$R_n = \frac{4{\pi}\varepsilon_0\hbar^2}{Zm_ee^2}n^2; \quad E_n = -\frac{Z^2m_ee^4}{32{\pi}^2\varepsilon_0^2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}$

Здесь $m_e$ — масса электрона, Z — количество протонов в ядре, $\varepsilon_0$ — диэлектрическая постоянная, e — заряд электрона.

Именно такое выражение для энергии можно получить, применяя уравнение Шрёдингера, решая задачу о движении электрона в центральном кулоновском поле.

Радиус первой орбиты в атоме водорода R₀=5,2917720859(36)·10⁻¹¹ м^[2], ныне называется боровским радиусом, либо атомной единицей длины и широко используется в современной физике. Энергия первой орбиты $E_0=-13.6$ эВ представляет собой энергию ионизации атома водорода.

Полуклассическая теория Бора

Основана на двух постулатах Бора:

• Атом может находиться только в особенных стационарных, или квантовых, состояниях, каждому из которых отвечает определенная энергия. В стационарном состоянии атом не излучает электромагнитных волн.
• Излучение и поглощение энергии атомом происходит при скачкообразном переходе из одного стационарного состояния в другое, при этом имеют место два соотношения:
  1. $\varepsilon=E_{n2}-E_{n1},$ где $\ \varepsilon$ — излучённая (поглощённая) энергия, $\ n_1,n_2$ — номера квантовых состояний. В спектроскопии $\ E_{n1}$ и $\ E_{n2}$ называются термами.
  2. Правило квантования момента импульса: $\ m\upsilon r=n\hbar,$ $\ n=1,2,3...$

Далее исходя из соображений классической физики о круговом движении электрона вокруг неподвижного ядра по стационарной орбите под действием кулоновской силы притяжения, Бором были получены выражения для радиусов стационарных орбит и энергии электрона на этих орбитах:

$\ r_n=an^2,$ $a=\frac{\hbar^2}{kme^2}=5.3\cdot10^{-11}$ м — боровский радиус.

$\ E_n=-R_y\frac{1}{n^2},$ $R_y=\frac{mk^2e^4}{2\hbar^2}$ — энергетическая постоянная Ридберга (численно равна 13,6 эВ).

Формула Зоммерфельда — Дирака

Движение электрона вокруг атомного ядра в рамках классической механики можно рассматривать как «линейный осциллятор», который характеризуется «адиабатичным инвариантом», представляющим собой площадь эллипса (в обобщенных координатах):

$\oint\mathbf{p} \cdot\,\mathbf{dq} = \frac {W}{\nu} = J$

где — $\mathbf{p},\mathbf{q}$ — обобщенный импульс и координаты электрона, $W$ — энергия, $\nu$ — частота. А квантовый постулат утверждает, что площадь замкнутой кривой в фазовой $pq$ — плоскости за один период движения, равна целому числу умноженному на постоянную Планка $h$ (Дебай, 1913 г.). С точки зрения рассмотрения постоянной тонкой структуры наиболее интересным является движение релятивистского электрона в поле ядра атома, когда его масса зависит от скорости движения. В этом случае мы имеем два квантовых условия:

$J_1 = nh \$, $J_2 = kh \$,

где $n$ определяет главную полуось эллиптической орбиты электрона ($a$), а $k$ — его фокальный параметр $q$:

$a = a_0n^2 \$, $q = a_0k^2 \$.

В этом случае Зоммерфельд получил выражение для энергии в виде

$E = -\frac {RZ^2}{n^2} + \epsilon(n,k)$.

где $R$ — постоянная Ридберга, а $Z$ — порядковый номер атома (для водорода $Z = 1$).

Дополнительный член $\epsilon(n, k)$ отражает более тонкие детали расщепления спектральных термов водородоподобных атомов, а их число определяется квантовым числом $k$. Таким образом сами спектральные линии представляют собой системы более тонких линий, которые соответствуют переходам между уровнями высшего состояния ($n=n_1, k=1,2 ,..., n_1$) и низшего состояния ($n = n_2, k = 1,2 ,..., n_2$). Это и есть т. н. тонкая структура спектральных линий. Зоммерфельд разработал теорию тонкой структуры для водородоподобных атомов (H, $He^{+}$ , $Li^{2+}$), а Фаулер с Пашеном на примере спектра однократно ионизированного гелия $He^{+}$ установили полное соответствие теории с экспериментом.

Зоммерфельд (1916 г.) еще задолго до возникновения квантовой механики Шредингера получил феноменологичную формулу для водородных термов в виде:

$E + E_0 = E_0 \left( 1 + \frac {\alpha^2Z^2}{\left( n_r + \sqrt{n_\phi^2 - \alpha^2Z^2} \right)^2} \right) ^{-1/2}$,

где $\alpha$ — постоянная тонкой структуры, $Z$ — порядковый номер атома, $E_0 = mc^2$ — энергия покоя, $n_r$ — радиальное квантовое число, а $n_\phi$ — азимутальное квантовое число. Позднее эту формулу получил Дирак используя релятивистское уравнения Шредингера. Поэтому сейчас эта формула и носит имя Зоммерфельда — Дирака.

Появление тонкой структуры термов связана с прецессией электронов вокруг ядра атома. Поэтому появление тонкой структуры можно обнаружить по резонансному эффекту в области ультракоротких электромагнитных волн. В случае $Z = 1$ (атом водорода) величина расщепления близка к

$E/h \approx R\alpha^2/n^2$

Поскольку длина электромагнитной волны равна

$\lambda = c/\nu = ch/E = cn^2/R\alpha^2 \approx 0,17cm$

Поэтому для $n = 2$ это будет почти 1 см.

Достоинства теории Бора

• Объяснила дискретность энергетических состояний водородоподобных атомов.
• Теория Бора подошла к объяснению внутриатомных процессов с принципиально новых позиций, стала первой полуквантовой теорией атома.
• Эвристическое значение теории Бора состоит в смелом предположении о существовании стационарных состояний и скачкообразных переходов между ними. Эти положения позднее были распространены и на другие микросистемы.

Недостатки теории Бора

• Не смогла объяснить интенсивность спектральных линий.
• Справедлива только для водородоподобных атомов и не работает для атомов, следующих за ним в таблице Менделеева.
• Теория Бора логически противоречива: не является ни классической, ни квантовой. В системе двух уравнений, лежащих в её основе, одно — уравнение движения электрона — классическое, другое — уравнение квантования орбит — квантовое.

Теория Бора являлась недостаточно последовательной и общей. Поэтому она в дальнейшем была заменена современной квантовой механикой, основанной на более общих и непротиворечивых исходных положениях. Сейчас известно, что постулаты Бора являются следствиями более общих квантовых законов. Но правила квантования типа широко используются и в наши дни как приближенные соотношения: их точность часто бывает очень высокой.

Примечания

1. ↑ Планетарная модель атома. Постулаты Бора на Портале Естественных Наук
2. ↑ Боровский радиус согласно CODATA

Литература

• Борн М. Атомная физика, 2-е изд., М.:Мир,1967.- 493с.

Для улучшения этой статьи по физике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.