Аксиома объединения

Аксиома объединения

Аксиомой объединения называется следующее высказывание теории множеств:

~ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ )

Аксиому объединения можно сформулировать по-русски, а именно: "Из любого семейства ~ a множеств ~ b можно образовать как минимум одно такое множество ~ d, каждый элемент ~ c которого принадлежит хотя бы одному множеству ~ b данного семейства ~ a."

Содержание

Другие формулировки аксиомы объединения

~ \forall a \exist d \ (d = \{c: \ \exist b \ (b \in a \land c \in b)\})

~ \forall a \exist d \forall c \ (c \notin d \leftrightarrow \forall b \ (b \in a \to c \notin b))

Примечания

0. В аксиоме объединения указан тип множеств (элементы множеств семейства ~ a), которые должны быть элементами образуемого множества ~ d. Вместе с тем, аксиома объединения не содержит алгоритм нахождения всех элементов образуемого множества ~ d.

"Кто виноват?" - известно. "Что делать?" - неизвестно.

1. О выводимости аксиомы объединения.

2. Руководствуясь аксиомой объёмности можно доказать единственность образуемой "кучи-малы" ~ d для каждого семейства множеств ~ a. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома объединения равносильна следующему высказыванию

~ \forall a \exists ! d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exist b \ (b \in a \land c \in b)), что есть ~ \forall a \exist d \ (d = \{c: \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\} \quad \land \quad \neg(\exist d' \ (d' \ne d \ \land \ d' = \{c: \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\})) \ )


3. Об аналогии с законом возрастания энтропии.

4. Прочее

~ a = \{a_1, a_2\} \Rightarrow \exist d \forall c (c \in d \leftrightarrow \exist b (b \in \{a_1,a_2\} \ \land \ c \in b)) \Leftrightarrow \exist d \forall c (c \in d \leftrightarrow c \in a_1 \ \lor \ c \in a_2)


См. также

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Аксиома объединения" в других словарях:

  • КОЛМОГОРОВА АКСИОМА — аксиома Т 0, самая слабая из всех отделимости аксиом в общей топологии; введена А. Н. Колмогоровым. Топология, пространство удовлетворяет этой аксиоме, или есть Т 0 п ространство, пространство Колмогорова, если, каковы бы ни были две различные… …   Математическая энциклопедия

  • Аксиоматика теории множеств — Сюда перенаправляется запрос «Теория Цермело Френкеля». На эту тему нужна отдельная статья. Современная теория множеств строится на системе аксиом  утверждений, принимаемых без доказательства,  из которых выводятся все теоремы и у …   Википедия

  • ZFC — Современная теория множеств строится на системе аксиом утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств. Система аксиом Цермело Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для… …   Википедия

  • Система аксиом фон Неймана — Cистема аксиом фон Неймана  Бернайса  Гёделя (NBG, аксиоматика Гёделя  Бернайса) в метаматематике  одна из основных аксиоматических теорий множеств. Эта система является расширением канонической теории Цермело  Френкеля с …   Википедия

  • ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — совокупность двух объектов: множества X, состоящего из элементов произвольной природы, наз. точками данного пространства, и из введенной в это множество топологической структуры, или топологии, все равно открытой или замкнутой (одна переходит в… …   Математическая энциклопедия

  • ГОМОЛОГИИ ТЕОРИЯ — топологических пространств часть алгебраич. топологии, осуществляющая связь между топологич. н алгебраич. понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространств… …   Математическая энциклопедия

  • Топология — (от греч. tоpos место и …логия (См. ...Логия)         часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных… …   Большая советская энциклопедия

  • СТИНРОДА - ЭЙЛЕНБЕРГА АКСИОМЫ — основные свойства групп гомологии (когомологий), однозначно определяющих рассматриваемую теорию гомологии (когомологий). На нек рой категории нар (X, А) топология, пространств задана аксиоматическая теория гомологий, если при любом целом qкаждой… …   Математическая энциклопедия

  • ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — теория, в к рой изучаются множества (классы) элементов произвольной природы. Созданная прежде всего трудами Кантора (а также Р. Дедекинда и К. Вейерштрасса), Т. м. к концу 19 в. стала основой построения сложившихся к тому времени математич.… …   Философская энциклопедия

  • ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ — категории, обозначающие осн. формы существования материи. Пр во (П.) выражает порядок сосуществования отд. объектов, время (В.) порядок смены явлений. П. и в. осн. понятия всех разделов физики. Они играют гл. роль на эмпирич. уровне физ. познания …   Физическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»