Уравнение Бюргерса

Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных, используемое в гидродинамике. Это уравнение известно в различных областях прикладной математики. Уравнение названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса (1895—1981). Является частным случаем уравнений Навье — Стокса в одномерном случае.

Пусть задана скорость течения жидкости u и ее кинематическая вязкость $\nu$. Уравнение Бюргерса в общем виде записывается так:

$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$.

Если влиянием вязкости можно пренебречь, то есть $\nu = 0$, уравнение приобретает вид:

$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0$.

В этом случае мы получаем уравнение Хопфа — нелинейное уравнение переноса — простейшее уравнение, описывающее разрывные течения или течения с ударными волнами.

Если $\nu$ вещественно и не равно $0$, уравнение сводится к случаю $\nu=1$ : для $\nu< 0$ нужно сначала сделать замену $u \to - u$, $x \to - x$, и для любого знака $\nu$: $u \to \sqrt{|\nu|} \,u$, $x \to \sqrt{|\nu|} \,x$ .

Уравнение Бюргерса можно линеаризовать преобразованием Хопфа-Коула. Для этого (при $\nu=1$) нужно сделать замену функции:

$u= \frac{\partial \ln w }{\partial x} = w_x / w$ .

При этом решения уравнения Бюргерса сводятся к положительным решениям линейного уравнения теплопроводности:

$u(x,t)= \frac{\partial}{\partial x}\ln\Bigl\{(4\pi t)^{-1/2}\int_{-\infty}^\infty\exp\Bigl[-\frac{(x-x')^2}{4 t} -\frac{1}{2}\int_0^{x'}u(x'',0)dx''\Bigr]dx'\Bigr\}.$

См. также

• Уравнение Курамото-Сивашински

Ссылки

• Burgers' Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.