- Алгебра Клиффорда
-
Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей
над некоторым коммутативным кольцом
(Е — векторное пространство, в дальнейшем обобщении — свободный K-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на E билинейной формой
.
Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства E⊕K и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.
Содержание
Формальное определение
Пусть
— коммутативное кольцо с единицей,
— свободный K-модуль,
— квадратичная форма на
. Алгеброй Клиффорда квадратичной формы
(или пары
) называется факторалгебра
тензорной алгебры
,
-модуля
по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида
Элементы (векторы) из
, являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы
, причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:
.
Комментарий
Если
есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда
— линейное пространство, а в качестве
используется присущее такому пространству скалярное произведение.
Примеры вещественных и комплексных алгебр
...
Свойства
- Основное тождество алгебр Клиффорда: если характеристика кольца K не равна двум, то для любых
:
- антикоммутатор
- где
— симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:
- где
- Для нулевой квадратичной формы
алгебра
совпадает со внешней алгеброй
-модуля
.
- Пусть
— некоторый базис
-модуля
, тогда элементы вида
для всех k от 1 по n) или, иначе:
где
образуют базис
-модуля
. В частности,
является свободным
-модулем ранга (размерности)
- Если, кроме того,
ортогональны относительно
, то
можно задать как
-алгебру с образующими
и определяющими соотношениями
, (
) и
.
- Алгебра Клиффорда обладает Z2-градуировкой. В частности, подмодуль в
, порождённый произведениями чётного числа элементов из
, образует подалгебру в
, которая обозначается через
.
- Пусть
— поле и квадратичная форма
невырождена
- тогда при чётном n алгебра
является центральной простой алгеброй над
размерности
, подалгебра
сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над
.
- тогда при чётном n алгебра
- Если
алгебраически замкнуто, то
- при чётном n
— матричная алгебра, a
— произведение двух матричных алгебр,
- при нечётном n, наоборот,
— матричная, а
— произведение двух матричных алгебр.
- при чётном n
Матричные представления алгебр Клиффорда
Уравнение Дирака — важный пример применения представлений CL_3,1(ℝ), которые впервые изучены Этторе Майорана. ...
Ссылки
- Lounesto, Pertti (2001), «Clifford algebras and spinors», Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7 (см.)
- Ian R. Porteous «Clifford algebras and the classical groups» Cambridge, CUP, 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
- R. Jagannathan (2010), «On generalized Clifford algebras and their physical applications»
Категории:- Теория колец
- Гиперкомплексные числа
Wikimedia Foundation. 2010.