- ФИЛЬТРОВАННАЯ АЛГЕБРА
-алгебра S, в к-рой выделены подпространства
индексированные элементами линейно упорядоченной группы А(чаще всего А - аддитивная группа целых чисел 
). таким образом, что 
при 
и 
(возрастающая фильтрация). Иногда рассматривают случай, когда 
при 
(убывающая фильтрация), но он сводится к предыдущему путем обращения порядка в группе Л. С каждой Ф. a. Sассоциируется градуированная алгебра 
где
(если 
то 
), а произведение элементов 
и 
определяется по формуле 
где х, у - представители смежных классов 
а 
-смежный класс по 
порожденный элементом 
Если в алгебре Sвыполняется какое-либо полилинейное тождество (напр., коммутативность, ассоциативность или тождество Якоби), то и алгебре gr Sтакже выполняется это тождество.
Примеры. 1) Пусть S - Клиффорда алгебра и
-совокупность элементов, предстаиимых п виде (некоммутативных) многочленов степени 
от образующих. Получается возрастающая Z-фильтрация алгебры S, в к-рой Sn- 0 при п <0. Ассоциированной градуированной алгеброй будет внешняя алгебра с тем же числом образующих.
2) В универсальной, обертывающей алгебре алгебры Ли так же, как в предыдущем примере, определяется возрастающая Z-фильтрация. Согласно Биркгифа - Витта теореме, ассоциированная градуированная алгебра есть алгебра многочленов.Э. В. Винберг
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
